Какое уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения вида y" + py' + qy = 0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка характеристическое уравнение Дифференциальное уравнение решение уравнения математический анализ методы решения Новый

Для дифференциального уравнения второго порядка вида:

y'' + p*y' + q*y = 0

характеристическим уравнением называется алгебраическое уравнение, которое получается при замене производных на переменные. В данном случае, мы заменяем:

• y' на r
• y'' на r^2

Таким образом, подставляя эти замены в исходное уравнение, мы получаем:

r^2 + p*r + q = 0

Это уравнение называется характеристическим, потому что его корни (значения r) помогут нам найти общее решение исходного дифференциального уравнения. В зависимости от значений p и q, корни характеристического уравнения могут быть:

• действительными и различными;
• действительными и совпадающими;
• комплексными (с мнимой частью).

Каждый из этих случаев будет давать разные формы общего решения для исходного дифференциального уравнения:

1. Если корни действительные и различны, общее решение будет иметь вид: y = C1*e^(r1*x) + C2*e^(r2*x), где r1 и r2 - корни уравнения.
2. Если корни действительные и совпадают, общее решение будет: y = (C1 + C2*x)*e^(r*x), где r - кратный корень.
3. Если корни комплексные, общее решение будет: y = e^(α*x)*(C1*cos(β*x) + C2*sin(β*x)), где α и β - действительная и мнимая части корней.

Таким образом, характеристическое уравнение является важным инструментом для решения дифференциальных уравнений второго порядка.