Какова длина линии пересечения сферы и плоскости, если диаметр шара равен d и плоскость проведена через конец диаметра под углом 30 градусов к нему?

Математика 11 класс Геометрия длина линии пересечения сфера и плоскость диаметр шара угол 30 градусов геометрия задачи по математике Новый

Для решения данной задачи нам необходимо использовать некоторые геометрические свойства сферы и плоскости.

Давайте разберем шаги по нахождению длины линии пересечения сферы и плоскости.

1. Определим радиус сферы:
   • Диаметр шара равен d. Следовательно, радиус r будет равен d/2.
2. Поймем, как расположена плоскость:
   • Плоскость проведена через конец диаметра и образует угол 30 градусов с диаметром. Это означает, что плоскость наклонена относительно вертикали.
3. Найдем расстояние от центра сферы до плоскости:
   • Поскольку плоскость проходит через конец диаметра, расстояние от центра сферы до плоскости можно найти с помощью тригонометрии. Это расстояние будет равно радиусу сферы, умноженному на косинус угла между диаметром и нормалью к плоскости.
   • Угол между диаметром и нормалью к плоскости равен 90 градусов минус 30 градусов, то есть 60 градусов.
   • Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости будет равно r * cos(60°) = (d/2) * (1/2) = d/4.
4. Определим радиус круга пересечения:
   • Радиус круга пересечения можно найти по теореме Пифагора. Он равен корню из разности квадрата радиуса сферы и квадрата расстояния от центра до плоскости:
   • R = sqrt(r^2 - (d/4)^2) = sqrt((d/2)^2 - (d/4)^2).
   • Упростим это выражение: R = sqrt((d^2/4) - (d^2/16)) = sqrt((4d^2/16) - (d^2/16)) = sqrt(3d^2/16) = (d/4) * sqrt(3).
5. Найдём длину линии пересечения:
   • Длина линии пересечения (длина окружности) равна 2 * π * R.
   • Подставим найденный радиус: длина = 2 * π * (d/4) * sqrt(3) = (π * d * sqrt(3)) / 2.

Таким образом, длина линии пересечения сферы и плоскости равна (π * d * sqrt(3)) / 2.