Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции F(x) = 2 + 9x + 3x² - x³, нам нужно сначала найти её производную F'(x). Это поможет определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 1: Найдем производную F'(x).

Для этого применим правило дифференцирования:

• Производная константы (2) равна 0.
• Производная 9x равна 9.
• Производная 3x² равна 6x.
• Производная -x³ равна -3x².

Таким образом, производная будет:

F'(x) = 0 + 9 + 6x - 3x² = -3x² + 6x + 9.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

-3x² + 6x + 9 = 0.

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

3x² - 6x - 9 = 0.

Теперь можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их:

x1 = (6 + √144) / (2 * 3) = (6 + 12) / 6 = 3.

x2 = (6 - √144) / (2 * 3) = (6 - 12) / 6 = -1.

Шаг 3: Определим интервалы.

Теперь у нас есть критические точки x1 = 3 и x2 = -1. Мы можем разбить числовую ось на три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, 3)
• (3, +∞)

Теперь нужно протестировать производную на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем, например, x = -2:

F'(-2) = -3(-2)² + 6(-2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 (отрицательное значение, значит функция убывает).

• Для интервала (-1, 3) возьмем, например, x = 0:

F'(0) = -3(0)² + 6(0) + 9 = 9 (положительное значение, значит функция возрастает).

• Для интервала (3, +∞) возьмем, например, x = 4:

F'(4) = -3(4)² + 6(4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 (отрицательное значение, значит функция убывает).

Шаг 4: Запишем интервалы возрастания и убывания.

• Функция F(x) убывает на интервале (-∞, -1) и (3, +∞).
• Функция F(x) возрастает на интервале (-1, 3).

Шаг 5: Остаток (если он есть).

В данном контексте остатком обычно называют значение функции в критических точках или на границах интервалов. Мы можем вычислить значения F(-1) и F(3):

• F(-1) = 2 + 9(-1) + 3(-1)² - (-1)³ = 2 - 9 + 3 + 1 = -3.
• F(3) = 2 + 9(3) + 3(3)² - (3)³ = 2 + 27 + 27 - 27 = 29.

Таким образом, мы нашли все необходимые интервалы возрастания и убывания функции, а также значения функции в критических точках.