Чтобы найти производную функции, заданной выражением sin(4x) * cos(4x),мы можем воспользоваться правилом произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций f(x) и g(x) равна:

(f * g)' = f' * g + f * g'

В нашем случае:

• f(x) = sin(4x)
• g(x) = cos(4x)

Теперь найдем производные этих функций:

1. Для f(x) = sin(4x) используем правило цепочки:
• f'(x) = cos(4x) * 4 = 4cos(4x)
2. Для g(x) = cos(4x) также используем правило цепочки:
• g'(x) = -sin(4x) * 4 = -4sin(4x)

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

(sin(4x) * cos(4x))' = (4cos(4x) * cos(4x)) + (sin(4x) * (-4sin(4x)))

Упростим это выражение:

• Первое слагаемое: 4cos^2(4x)
• Второе слагаемое: -4sin^2(4x)

Таким образом, мы получаем:

(sin(4x) * cos(4x))' = 4cos^2(4x) - 4sin^2(4x)

Также можно заметить, что выражение 4(cos^2(4x) - sin^2(4x)) можно записать как 4cos(2 * 4x) (по формуле двойного угла). Поэтому окончательный ответ можно записать так:

(sin(4x) * cos(4x))' = 2sin(8x)

Таким образом, производная функции sin(4x) * cos(4x) равна 2sin(8x).