Какова сумма первых 30 членов арифметической прогрессии с чётными номерами, если известно, что a1 + a5 = 20 и a2 + a3 = 17?

Математика 11 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов чётные номера математические задачи решение уравнений сумма первых членов математика 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения членов арифметической прогрессии. Пусть первый член прогрессии обозначим как a1 = a, а разность прогрессии — d. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• a1 = a
• a2 = a + d
• a3 = a + 2d
• a4 = a + 3d
• a5 = a + 4d

Теперь подставим данные из условия задачи:

1. Из первого уравнения a1 + a5 = 20 получаем:
• a + (a + 4d) = 20
• 2a + 4d = 20
• a + 2d = 10 (1)
2. Из второго уравнения a2 + a3 = 17 получаем:
• (a + d) + (a + 2d) = 17
• 2a + 3d = 17 (2)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

1. a + 2d = 10
2. 2a + 3d = 17

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим a:

• a = 10 - 2d

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

• 2(10 - 2d) + 3d = 17
• 20 - 4d + 3d = 17
• 20 - d = 17
• d = 3

Теперь, зная d, подставим его обратно в уравнение для a:

• a = 10 - 2 * 3
• a = 10 - 6
• a = 4

Теперь мы знаем первый член прогрессии a = 4 и разность d = 3. Теперь можем найти сумму первых 30 членов арифметической прогрессии с четными номерами.

Члены арифметической прогрессии с четными номерами:

• a2 = a + d = 4 + 3 = 7
• a4 = a + 3d = 4 + 3 * 3 = 13
• a6 = a + 5d = 4 + 5 * 3 = 19

Таким образом, четные члены прогрессии формируются по формуле:

• a2n = a + (2n - 2)d, где n = 1, 2, ..., 30

Теперь найдем сумму первых 30 четных членов:

• Первый член (n=1): a2 = 7
• Тридцатый член (n=30): a60 = a + 58d = 4 + 58 * 3 = 178

Сумма S_n первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

S_n = n/2 * (a1 + an)

Подставим наши значения:

• n = 30
• a1 = 7
• a30 = 178

Теперь можем вычислить сумму:

• S_30 = 30/2 * (7 + 178) = 15 * 185 = 2775

Таким образом, сумма первых 30 членов арифметической прогрессии с четными номерами равна 2775.