Какова сумма возможных значений a, если число aaa8ab делится на 30 нацело?

Математика 11 класс Делимость чисел число Делимость сумма возможные значения математика задача 30 A aaa8ab Новый

Для того чтобы число делилось на 30, оно должно делиться на 3 и на 10. Рассмотрим каждое из этих условий по отдельности.

1. Условие делимости на 10:

Число делится на 10, если его последняя цифра равна 0 или 5. В нашем случае последняя цифра числа aaa8ab - это b. Следовательно, b может принимать значения 0 или 5.

2. Условие делимости на 3:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа aaa8ab равна:

• 3a (три раза a)
• + 8
• + a (последняя цифра b)

Таким образом, сумма цифр будет равна 4a + 8.

Теперь рассмотрим два случая для b:

Случай 1: b = 0

Сумма цифр будет равна 4a + 8. Для делимости на 3, необходимо, чтобы 4a + 8 делилось на 3:

• 4a + 8 ≡ 0 (mod 3)
• 4a ≡ -8 ≡ 1 (mod 3) (так как -8 + 9 = 1)
• 4a ≡ 1 (mod 3)
  4 ≡ 1 (mod 3), поэтому 4a ≡ a (mod 3).

Следовательно, a ≡ 1 (mod 3). Возможные значения a: 1, 4, 7.

Случай 2: b = 5

Сумма цифр будет равна 4a + 8 + 5 = 4a + 13. Для делимости на 3, необходимо, чтобы 4a + 13 делилось на 3:

• 4a + 13 ≡ 0 (mod 3)
• 4a ≡ -13 ≡ 2 (mod 3) (так как -13 + 15 = 2)
• 4a ≡ 2 (mod 3)
  4 ≡ 1 (mod 3), поэтому 4a ≡ a (mod 3).

Следовательно, a ≡ 2 (mod 3). Возможные значения a: 2, 5, 8.

3. Подведение итогов:

Теперь у нас есть два набора возможных значений для a:

• Случай 1 (b = 0): 1, 4, 7
• Случай 2 (b = 5): 2, 5, 8

4. Сумма возможных значений a:

Теперь найдем сумму всех уникальных возможных значений a:

• 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27

Таким образом, сумма возможных значений a равна 27.