Чтобы найти стороны прямоугольника с заданным периметром, который максимизирует площадь, давайте начнем с формул для периметра и площади прямоугольника.

1. Определим формулы:

• Периметр P прямоугольника: P = 2(a + b), где a и b - стороны прямоугольника.
• Площадь S прямоугольника: S = a * b.

2. Зададим известное значение периметра:

Пусть P = 120 м. Тогда из формулы периметра мы можем выразить одну из сторон через другую:

2(a + b) = 120

Следовательно, a + b = 60.

Теперь выразим b через a:

b = 60 - a.

3. Подставим b в формулу площади:

Теперь мы можем выразить площадь S через одну переменную:

S = a * b = a * (60 - a) = 60a - a².

4. Найдем максимум площади:

Чтобы найти максимальное значение площади, нам нужно найти производную функции S и приравнять её к нулю:

1) Найдем производную:

S' = 60 - 2a.

2) Приравняем производную к нулю:

60 - 2a = 0.

Следовательно, 2a = 60, а значит, a = 30.

3) Подставим значение a в уравнение для b:

b = 60 - a = 60 - 30 = 30.

5. Проверим, что это максимум:

Вторую производную S'' = -2, которая меньше нуля, что подтверждает, что у нас есть максимум.

Итак, стороны прямоугольника, при которых площадь максимальна, равны:

a = 30 м и b = 30 м.

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника с периметром 120 м достигается, когда он является квадратом со сторонами по 30 метров.