Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции F(x) = 2 + 9x + 3x² - x³, нам нужно сначала найти производную этой функции. Производная поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции F(x).

Производная F'(x) будет равна:

F'(x) = d/dx (2 + 9x + 3x² - x³) = 0 + 9 + 6x - 3x².

Таким образом, мы получаем:

F'(x) = 9 + 6x - 3x².

Шаг 2: Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

9 + 6x - 3x² = 0.

Упорядочим уравнение:

-3x² + 6x + 9 = 0.

Умножим на -1, чтобы упростить:

3x² - 6x - 9 = 0.

Теперь можно использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:

• D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня.

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Используем формулу корней:

x = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

• x₁ = (6 + √144) / (2 * 3) = (6 + 12) / 6 = 3;
• x₂ = (6 - √144) / (2 * 3) = (6 - 12) / 6 = -1.

Таким образом, критические точки: x₁ = 3 и x₂ = -1.

Шаг 4: Определим знаки производной на интервалах.

Теперь мы можем определить знаки производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -1): выберем, например, x = -2: F'(-2) = 9 + 6(-2) - 3(-2)² = 9 - 12 - 12 = -15 (отрицательно);
• Интервал (-1, 3): выберем, например, x = 0: F'(0) = 9 + 6(0) - 3(0)² = 9 (положительно);
• Интервал (3, +∞): выберем, например, x = 4: F'(4) = 9 + 6(4) - 3(4)² = 9 + 24 - 48 = -15 (отрицательно).

Шаг 5: Запишем интервалы возрастания и убывания.

Функция F(x) возрастает на интервале (-1, 3) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞).

Шаг 6: Найдем остаток (напоминание) функции.

Чтобы найти остаток функции F(x), нужно выполнить деление этой функции на (x - 3) и (x + 1). Остаток будет равен значению функции в этих точках:

• F(3) = 2 + 9(3) + 3(3)² - (3)³ = 2 + 27 + 27 - 27 = 29;
• F(-1) = 2 + 9(-1) + 3(-1)² - (-1)³ = 2 - 9 + 3 + 1 = -3.

Таким образом, остатки функции F(x) при делении на (x - 3) и (x + 1) равны 29 и -3 соответственно.