Каковы наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ + 3x² + 2 на интервале [-2; 1]?

Математика 11 класс Экстремумы функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции y = 2x³ + 3x² + 2 интервал [-2; 1] математика 11 класс Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ + 3x² + 2 на заданном интервале [-2; 1], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Для начала, найдем первую производную функции, которая поможет нам определить критические точки. Производная функции y равна:

   y' = 6x² + 6x

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Установим производную равной нулю:

   6x² + 6x = 0

   Факторизуем уравнение:

   6x(x + 1) = 0

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -1.

3. Оценить значения функции в критических точках и на границах интервала:

   Теперь нужно подставить найденные критические точки и границы интервала в исходную функцию:

   • Для x = -2: y(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² + 2 = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2
   • Для x = -1: y(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + 2 = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3
   • Для x = 0: y(0) = 2(0)³ + 3(0)² + 2 = 2
   • Для x = 1: y(1) = 2(1)³ + 3(1)² + 2 = 2(1) + 3(1) + 2 = 2 + 3 + 2 = 7
4. Сравнить значения:

   Теперь сравним все найденные значения:

   • y(-2) = -2
   • y(-1) = 3
   • y(0) = 2
   • y(1) = 7
5. Определить наибольшее и наименьшее значения:

   На основании сравнений, мы видим, что:

   • Наименьшее значение функции на интервале [-2; 1] равно -2 (при x = -2).
   • Наибольшее значение функции на интервале [-2; 1] равно 7 (при x = 1).

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-2; 1] равно 7, а наименьшее значение равно -2.