Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функций, нам нужно найти производную каждой функции и проанализировать её знак. Если производная положительна на каком-то промежутке, функция возрастает на этом промежутке; если отрицательна — убывает.

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

• Находим производную: f'(x) = 3x² - 3.
• Решаем уравнение f'(x) = 0: 3x² - 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1.
• Теперь определим знак производной на промежутках (-∞, -1), (-1, 1) и (1, ∞):
• Для x < -1, например, x = -2: f'(-2) = 3(-2)² - 3 = 9 > 0 (возрастает).
• Для -1 < x < 1, например, x = 0: f'(0) = 3(0)² - 3 = -3 < 0 (убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: f'(2) = 3(2)² - 3 = 9 > 0 (возрастает).
• Итак, функция возрастает на промежутках (-∞, -1) и (1, ∞), и убывает на промежутке (-1, 1).

• Находим производную: f'(x) = 3x² - 4.
• Решаем уравнение f'(x) = 0: 3x² - 4 = 0 → x² = 4/3 → x = ±2/√3.
• Определяем знак производной на промежутках (-∞, -2/√3), (-2/√3, 2/√3) и (2/√3, ∞):
• Для x < -2/√3, например, x = -2: f'(-2) = 3(-2)² - 4 = 8 > 0 (возрастает).
• Для -2/√3 < x < 2/√3, например, x = 0: f'(0) = -4 < 0 (убывает).
• Для x > 2/√3, например, x = 2: f'(2) = 8 > 0 (возрастает).
• Таким образом, функция возрастает на (-∞, -2/√3) и (2/√3, ∞), убывает на (-2/√3, 2/√3).

• Находим производную: f'(x) = 5x⁴.
• Поскольку 5x⁴ ≥ 0 для всех x, производная неотрицательна.
• f'(x) = 0 только в точке x = 0, но в остальном f'(x) > 0.
• Следовательно, функция возрастает на всем множестве действительных чисел.

• Находим производную: y' = 4x³ - 4.
• Решаем уравнение y' = 0: 4x³ - 4 = 0 → x³ = 1 → x = 1.
• Определяем знак производной на промежутках (-∞, 1) и (1, ∞):
• Для x < 1, например, x = 0: y'(0) = -4 < 0 (убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: y'(2) = 4(2)³ - 4 = 28 > 0 (возрастает).
• Таким образом, функция убывает на (-∞, 1) и возрастает на (1, ∞).

Теперь, чтобы доказать, что функция f(x) является возрастающей на множестве действительных чисел, нужно показать, что её производная f'(x) неотрицательна для всех x.

Например, для функции f(x) = x⁵ + 5, мы уже нашли, что f'(x) = 5x⁴ ≥ 0 для всех x. Это означает, что функция никогда не убывает, а значит, является возрастающей на всем множестве действительных чисел.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!

1. Каковы промежутки возрастания и убывания для следующих функций: a) f(x) = x³ - 3x + 5; б) f(x) = x³ - 4x + 7; в) f(x) = x⁵ + 5; г) y = x⁴ - 4x? Также, как доказать, что функция f(x) является возрастающей на множестве действительных чисел?

Немного теории, функция возрастает (убывает) на промежутке, если ее производная на данном промежутке положительна (отрицательна)

найдемт производные функций

a) f'(x)=3x^2-3

б) f'(x)=3x^2-4

в) f'(x)=5x^4

г) f'(x)=4x^3-4

Найдем интервалы смены знака

a) f'(x)=3x^2-3

3x^2-3=3(x-1)(x+1)>0 при x<-1 U x>1

3x^2-3<0 при -1<x<1

функция возрастает на отрезке x<-1 U x>1 и убывает -1<x<1

б) f'(x)=3x^2-4

3x^2-4>0  (sqrt3x-2)(sqrt3x+2)>0 

функция возрастает на отрезке x<--2sqrt(3)/3 U x>2sqrt(3)/3 и убывает -2sqrt(3)/3<x<2sqrt(3)/3

в) f'(x)=5x^4 функция возрастает на интервале  (-~ ; 0) U (0; ~)

г) f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1)

x>1 f'(x)>0

x<1 f'(x)<0

(-~;1) - f(x) убывает

(1;~) f(x) возрастает