Каковы значения a, b и c для функции f(x) = ax² + bx + c, если известно, что f(0) = 1, f(1) = 0 и f(-1) = 3? Какова сумма a² + b² + c²?

Математика 11 класс Квадратные функции значения a B C функция f(x) математические задачи уравнения сумма a² + b² + c² Новый

Для нахождения значений a, b и c в функции f(x) = ax² + bx + c, нам нужно использовать данные условия:

• f(0) = 1
• f(1) = 0
• f(-1) = 3

Теперь подставим каждое из этих условий в уравнение функции:

1. Для f(0) = 1:

   Подставляем x = 0:

   f(0) = a(0)² + b(0) + c = c = 1

   Таким образом, мы получили первое уравнение: c = 1.

2. Для f(1) = 0:

   Подставляем x = 1:

   f(1) = a(1)² + b(1) + c = a + b + c = 0.

   Так как мы уже знаем, что c = 1, подставим это значение:

   a + b + 1 = 0, что можно упростить до:

   a + b = -1.

   Это второе уравнение.

3. Для f(-1) = 3:

   Подставляем x = -1:

   f(-1) = a(-1)² + b(-1) + c = a - b + c = 3.

   Подставим значение c = 1:

   a - b + 1 = 3, что можно упростить до:

   a - b = 2.

   Это третье уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• a + b = -1
• a - b = 2

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:

(a + b) + (a - b) = -1 + 2

2a = 1

a = 1/2.

Теперь подставим значение a в одно из уравнений, например, в a + b = -1:

1/2 + b = -1

b = -1 - 1/2 = -3/2.

Теперь у нас есть значения a и b:

• a = 1/2
• b = -3/2
• c = 1

Теперь найдем сумму a² + b² + c²:

a² = (1/2)² = 1/4

b² = (-3/2)² = 9/4

c² = 1² = 1

Теперь сложим все эти значения:

a² + b² + c² = 1/4 + 9/4 + 1 = 1/4 + 9/4 + 4/4 = 14/4 = 7/2.

Таким образом, сумма a² + b² + c² равна 7/2.