Помогите, пожалуйста, разобраться с функцией f (x) = 4x - 3x².

Математика 11 класс Квадратные функции функция f(x) 4x - 3x² математика 11 класс график функции нахождение корней анализ функции квадратные функции математический анализ Новый

Давайте разберемся с функцией f(x) = 4x - 3x². Эта функция является квадратичной, так как содержит член с x². Мы можем проанализировать ее свойства, такие как нахождение корней, определение вершины параболы и исследование знака функции.

Шаг 1: Найдем корни функции

Корни функции находятся, когда f(x) = 0. То есть:

1. Запишем уравнение: 4x - 3x² = 0.
2. Вынесем общий множитель: x(4 - 3x) = 0.
3. Теперь у нас есть два множителя: x = 0 и 4 - 3x = 0.
4. Решим второе уравнение: 4 - 3x = 0, отсюда 3x = 4, значит x = 4/3.

Таким образом, корни функции: x = 0 и x = 4/3.

Шаг 2: Найдем вершину параболы

Вершина параболы для функции f(x) = ax² + bx + c находится по формуле x = -b/(2a). В нашем случае:

• a = -3, b = 4.
• Подставляем в формулу: x = -4/(2 * -3) = 4/6 = 2/3.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

1. Подставим x = 2/3 в f(x):
2. f(2/3) = 4(2/3) - 3(2/3)².
3. Посчитаем: f(2/3) = (8/3) - 3(4/9) = (8/3) - (12/9) = (8/3) - (4/3) = 4/3.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2/3, 4/3).

Шаг 3: Определим знак функции

Теперь, чтобы определить, при каких значениях x функция положительна или отрицательна, рассмотрим промежутки, образованные корнями:

• Промежутки: (-∞, 0), (0, 4/3), (4/3, +∞).

Теперь проверим знак функции на каждом из этих промежутков:

1. Для x < 0, например, x = -1: f(-1) = 4(-1) - 3(-1)² = -4 - 3 = -7 (отрицательно).
2. Для 0 < x < 4/3, например, x = 1: f(1) = 4(1) - 3(1)² = 4 - 3 = 1 (положительно).
3. Для x > 4/3, например, x = 2: f(2) = 4(2) - 3(2)² = 8 - 12 = -4 (отрицательно).

Итак, функция положительна на интервале (0, 4/3) и отрицательна на интервалах (-∞, 0) и (4/3, +∞).

В заключение, мы исследовали функцию f(x) = 4x - 3x², нашли ее корни, вершину и определили знак функции на различных интервалах. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!