Чтобы найти значения производных указанных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило цепи и основные производные. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

1. Функция: y = √(2x^3 - 1)

   Для нахождения производной этой функции используем правило цепи. Сначала найдем производную внутренней функции:

   • Внутренняя функция: u = 2x^3 - 1
   • Производная: u' = 6x^2

   Теперь найдем производную внешней функции:

   • Внешняя функция: y = √u = u^(1/2)
   • Производная: y' = (1/2)u^(-1/2) * u' = (1/2)(2x^3 - 1)^(-1/2) * 6x^2

   Таким образом, производная: y' = 3x^2 / √(2x^3 - 1).

2. Функция: y = (x^3 + 2)^10

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = x^3 + 2
   • Производная: u' = 3x^2

   Внешняя функция: y = u^10

   • Производная: y' = 10u^9 * u' = 10(x^3 + 2)^9 * 3x^2

   Таким образом, производная: y' = 30x^2(x^3 + 2)^9.

3. Функция: y = tg(x^2 - 2)

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = x^2 - 2
   • Производная: u' = 2x

   Внешняя функция: y = tg(u)

   • Производная: y' = sec^2(u) * u' = sec^2(x^2 - 2) * 2x

   Таким образом, производная: y' = 2x * sec^2(x^2 - 2).

4. Функция: y = tg^4(x)

   Здесь также используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = tg(x)
   • Производная: u' = sec^2(x)

   Внешняя функция: y = u^4

   • Производная: y' = 4u^3 * u' = 4(tg(x))^3 * sec^2(x)

   Таким образом, производная: y' = 4(tg(x))^3 * sec^2(x).

5. Функция: y = √(sin(x))

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = sin(x)
   • Производная: u' = cos(x)

   Внешняя функция: y = √u = u^(1/2)

   • Производная: y' = (1/2)u^(-1/2) * u' = (1/2)(sin(x))^(-1/2) * cos(x)

   Таким образом, производная: y' = cos(x) / (2√(sin(x))).

Теперь у нас есть производные для всех указанных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!