Каковы значения производных следующих функций:

1. y=√(2x^3-1);
2. y=(x^3+2)^10;
3. y=tg(x^2-2);
4. y=tg^4(x);
5. y=√(sin(x));

Математика 11 класс Производные функций значения производных функции математика 11 класс производные функций вычисление производных Новый

Чтобы найти значения производных указанных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило цепи и основные производные. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

1. Функция: y = √(2x^3 - 1)

   Для нахождения производной этой функции используем правило цепи. Сначала найдем производную внутренней функции:

   • Внутренняя функция: u = 2x^3 - 1
   • Производная: u' = 6x^2

   Теперь найдем производную внешней функции:

   • Внешняя функция: y = √u = u^(1/2)
   • Производная: y' = (1/2)u^(-1/2) * u' = (1/2)(2x^3 - 1)^(-1/2) * 6x^2

   Таким образом, производная: y' = 3x^2 / √(2x^3 - 1).

2. Функция: y = (x^3 + 2)^10

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = x^3 + 2
   • Производная: u' = 3x^2

   Внешняя функция: y = u^10

   • Производная: y' = 10u^9 * u' = 10(x^3 + 2)^9 * 3x^2

   Таким образом, производная: y' = 30x^2(x^3 + 2)^9.

3. Функция: y = tg(x^2 - 2)

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = x^2 - 2
   • Производная: u' = 2x

   Внешняя функция: y = tg(u)

   • Производная: y' = sec^2(u) * u' = sec^2(x^2 - 2) * 2x

   Таким образом, производная: y' = 2x * sec^2(x^2 - 2).

4. Функция: y = tg^4(x)

   Здесь также используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = tg(x)
   • Производная: u' = sec^2(x)

   Внешняя функция: y = u^4

   • Производная: y' = 4u^3 * u' = 4(tg(x))^3 * sec^2(x)

   Таким образом, производная: y' = 4(tg(x))^3 * sec^2(x).

5. Функция: y = √(sin(x))

   Используем правило цепи:

   • Внутренняя функция: u = sin(x)
   • Производная: u' = cos(x)

   Внешняя функция: y = √u = u^(1/2)

   • Производная: y' = (1/2)u^(-1/2) * u' = (1/2)(sin(x))^(-1/2) * cos(x)

   Таким образом, производная: y' = cos(x) / (2√(sin(x))).

Теперь у нас есть производные для всех указанных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!