Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг конуса, нам нужно рассмотреть геометрию конуса и его осевое сечение. Давайте разберем решение по шагам.

1. Определим основные параметры конуса:
   • Радиус основания конуса R = 6 см.
   • Угол при вершине осевого сечения конуса α = 30°.
2. Найдем высоту конуса:
   • В осевом сечении конуса образуется равнобедренный треугольник, где основание равняется диаметру основания конуса (2R), а высота - это высота конуса (h).
   • Используя тангенс угла, мы можем выразить высоту через радиус основания:
   • tg(α) = R / h, откуда h = R / tg(α).
   • Подставим значения: h = 6 / tg(30°).
   • Зная, что tg(30°) = 1 / √3, получаем h = 6 * √3.
3. Теперь найдем радиус описанного шара:
   • Радиус шара, описанного вокруг конуса, можно найти по формуле:
   • R_опис = (R * √(h² + R²)) / (h + R).
   • Подставим найденные значения:
   • R_опис = (6 * √((6√3)² + 6²)) / ((6√3) + 6).
   • Посчитаем (6√3)² + 6² = 108 + 36 = 144, значит √(144) = 12.
   • Теперь подставим: R_опис = (6 * 12) / (6√3 + 6) = 72 / (6(√3 + 1)).
   • Упрощаем: R_опис = 12 / (√3 + 1).
   • Умножим числитель и знаменатель на (√3 - 1) для рационализации: R_опис = 12(√3 - 1) / (3 - 1) = 6(√3 - 1).
4. Ответ: Радиус шара, описанного вокруг конуса, равен 6(√3 - 1) см.

Таким образом, мы нашли радиус описанного шара, используя геометрические свойства конуса и тригонометрические функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!