Какой угол образуют прямые BM и CB1 в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, если точка M является серединой ребра A1B1, параллелепипед прямоугольный, длина ребра AB равна 2BC, а соотношение CC1 к BC составляет 4:3?

Математика 11 класс Геометрия многогранников угол между прямыми параллелепипед ABCDA1B1C1D1 точка M середина ребра A1B1 длина ребра AB соотношение CC1 к BC прямые BM и CB1 математика 11 класс Новый

Чтобы найти угол между прямыми BM и CB1 в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, начнем с анализа геометрии фигуры и определения координат всех ключевых точек.

1. Определение координат точек параллелепипеда:

• Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
• Тогда точка B будет (2, 0, 0), так как длина ребра AB равна 2BC.
• Пусть длина BC равна x. Тогда CC1 будет равен (4/3)x, так как соотношение CC1 к BC составляет 4:3.
• Точка C будет (2, x, 0), а точка D будет (0, x, 0).
• Точка A1 будет (0, 0, (4/3)x), B1 будет (2, 0, (4/3)x), C1 будет (2, x, (4/3)x), а D1 будет (0, x, (4/3)x).

2. Находим координаты точки M:

• Точка M является серединой ребра A1B1, поэтому ее координаты будут:
• M = ((0 + 2)/2, 0, (4/3)x) = (1, 0, (4/3)x).

3. Определим векторы BM и CB1:

• Вектор BM = M - B = (1 - 2, 0 - 0, (4/3)x - (4/3)x) = (-1, 0, 0).
• Вектор CB1 = B1 - C = (2 - 2, 0 - x, (4/3)x - 0) = (0, -x, (4/3)x).

4. Находим угол между векторами BM и CB1:

• Используем формулу для нахождения угла между двумя векторами:
• cos(θ) = (A • B) / (|A| |B|), где A и B - векторы, • - скалярное произведение, |A| и |B| - длины векторов.

5. Вычисляем скалярное произведение:

• A • B = (-1, 0, 0) • (0, -x, (4/3)x) = 0.

6. Находим длины векторов:

• |BM| = sqrt((-1)² + 0² + 0²) = 1.
• |CB1| = sqrt(0² + (-x)² + ((4/3)x)²) = sqrt(x² + (16/9)x²) = sqrt((25/9)x²) = (5/3)x.

7. Подставляем в формулу:

• cos(θ) = 0 / (1 * (5/3)x) = 0.
• Это означает, что угол θ = 90 градусов.

Ответ: Угол между прямыми BM и CB1 равен 90 градусов.