Давайте решим каждое из неравенств по порядку. Начнем с первого неравенства:

1. x^2 - 3x - 10 > 0

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения x^2 - 3x - 10 = 0. Используем формулу корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49.
• Корни уравнения: x1 = (3 + √49)/2 = 8/2 = 4 и x2 = (3 - √49)/2 = -4/2 = -2.

Теперь мы знаем, что корни -2 и 4. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак функции в каждом интервале:

• Для x < -2, например, x = -3: (-3)^2 - 3*(-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0.
• Для -2 < x < 4, например, x = 0: 0^2 - 3*0 - 10 = -10 < 0.
• Для x > 4, например, x = 5: 5^2 - 3*5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 > 0.

Таким образом, решение неравенства x^2 - 3x - 10 > 0: x < -2 или x > 4.

2. x^2 + 6x - 7 ≤ 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 + 6x - 7 = 0:

• D = 6^2 - 4*1*(-7) = 36 + 28 = 64.
• x1 = (-6 + √64)/2 = -6 + 8/2 = 1 и x2 = (-6 - √64)/2 = -6 - 8/2 = -7.

Корни -7 и 1. Разделим числовую прямую:

• (-∞, -7)
• (-7, 1)
• (1, +∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < -7, например, x = -8: (-8)^2 + 6*(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0.
• Для -7 < x < 1, например, x = 0: 0^2 + 6*0 - 7 = -7 < 0.
• Для x > 1, например, x = 2: 2^2 + 6*2 - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0.

Таким образом, решение неравенства x^2 + 6x - 7 ≤ 0: -7 ≤ x ≤ 1.

3. x^3 + x^2 - 10x + 8 > 0

Сначала найдем корни уравнения x^3 + x^2 - 10x + 8 = 0. Попробуем подставить некоторые значения:

• x = 1: 1^3 + 1^2 - 10*1 + 8 = 1 + 1 - 10 + 8 = 0 (корень).
• x = -2: (-2)^3 + (-2)^2 - 10*(-2) + 8 = -8 + 4 + 20 + 8 = 24 (не корень).
• Тогда делим многочлен на (x - 1). После деления получаем: x^2 + 2x - 8.

Теперь находим корни уравнения x^2 + 2x - 8 = 0:

• D = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.
• x1 = (-2 + √36)/2 = 4 и x2 = (-2 - √36)/2 = -6.

Корни -6, 1 и 4. Разделим числовую прямую:

• (-∞, -6)
• (-6, 1)
• (1, 4)
• (4, +∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < -6, например, x = -7: (-7)^3 + (-7)^2 - 10*(-7) + 8 = -343 + 49 + 70 + 8 < 0.
• Для -6 < x < 1, например, x = 0: 0^3 + 0^2 - 10*0 + 8 = 8 > 0.
• Для 1 < x < 4, например, x = 2: 2^3 + 2^2 - 10*2 + 8 = 8 + 4 - 20 + 8 < 0.
• Для x > 4, например, x = 5: 5^3 + 5^2 - 10*5 + 8 = 125 + 25 - 50 + 8 > 0.

Таким образом, решение неравенства x^3 + x^2 - 10x + 8 > 0: -6 < x < 1 и x > 4.

4. x^3 - 3x^2 - 6x + 8 > 0

Сначала найдем корни уравнения x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0. Попробуем подставить некоторые значения:

• x = 2: 2^3 - 3*2^2 - 6*2 + 8 = 8 - 12 - 12 + 8 = -8 (не корень).
• x = 1: 1^3 - 3*1^2 - 6*1 + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0 (корень).

Теперь делим многочлен на (x - 1) и получаем: x^2 - 2x - 8.

Находим корни: D = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36, x1 = 4 и x2 = -2.

Корни -2, 1 и 4. Разделим числовую прямую:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, 4)
• (4, +∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < -2, например, x = -3: (-3)^3 - 3*(-3)^2 - 6*(-3) + 8 < 0.
• Для -2 < x < 1, например, x = 0: > 0.
• Для 1 < x < 4, например, x = 2: < 0.
• Для x > 4, например, x = 5: > 0.

Таким образом, решение неравенства x^3 - 3x^2 - 6x + 8 > 0: -2 < x < 1 и x > 4.

Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!