На доске записаны четыре ненулевых числа, и сумма любых трёх из них оказывается меньше четвёртого числа. Какое минимальное количество отрицательных чисел может находиться на доске?

Математика 11 класс Неравенства математика 11 класс сумма чисел отрицательные числа задача на логику условия задачи Новый

Давайте проанализируем условие задачи. У нас есть четыре ненулевых числа, обозначим их как a, b, c и d. Условие говорит о том, что сумма любых трёх из этих чисел меньше четвёртого числа. Это можно записать в виде следующих неравенств:

• a + b + c < d
• a + b + d < c
• a + c + d < b
• b + c + d < a

Теперь давайте рассмотрим, что это значит. Если мы сложим все четыре неравенства, то получим:

(a + b + c) + (a + b + d) + (a + c + d) + (b + c + d) < (d + c + b + a)

Это упростится до:

3a + 3b + 3c + 3d < a + b + c + d

Что можно записать как:

2(a + b + c + d) < 0

Это неравенство показывает, что сумма всех четырёх чисел должна быть отрицательной. Следовательно, a + b + c + d < 0.

Теперь давайте подумаем о том, сколько из этих чисел могут быть отрицательными. Если все четыре числа были бы положительными, то их сумма была бы положительной, что противоречит нашему выводу. Таким образом, хотя бы одно из чисел должно быть отрицательным.

Рассмотрим случай, когда три числа положительные, а одно отрицательное. Пусть a, b и c - положительные, а d - отрицательное. В этом случае сумма a + b + c будет положительной, и, следовательно, не может быть меньше d, так как d отрицательно. Это также приводит к противоречию.

Теперь рассмотрим случай, когда два числа положительные и два отрицательных. Пусть a и b - положительные, а c и d - отрицательные. В этом случае, если d достаточно велико по модулю, то сумма a + b + c может оказаться меньше d, но не обязательно для всех комбинаций. Это также может привести к противоречиям в зависимости от значений.

Таким образом, мы можем заключить, что для выполнения условия задачи минимальное количество отрицательных чисел должно составлять как минимум три. Если три числа отрицательные, то одно число может быть положительным, и в этом случае сумма трёх отрицательных чисел будет меньше положительного числа.

Ответ: Минимальное количество отрицательных чисел на доске - три.