На каких интервалах функция f(x)=2+9x+3x²-x³ увеличивается и уменьшается?

Математика 11 класс Анализ функций функция f(x) интервалы увеличения интервалы уменьшения анализ функции математический анализ производная функции нахождение интервалов график функции свойства функции исследование функции Новый

Чтобы определить интервалы, на которых функция f(x) = 2 + 9x + 3x² - x³ увеличивается и уменьшается, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x).

Производная функции f(x) будет:

f'(x) = 9 + 6x - 3x²
2. Определим критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение f'(x) = 0:

9 + 6x - 3x² = 0

Упростим это уравнение:

-3x² + 6x + 9 = 0

Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от минуса:

3x² - 6x - 9 = 0

Теперь можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

x1 = (6 + √144) / (2 * 3) = (6 + 12) / 6 = 3
x2 = (6 - √144) / (2 * 3) = (6 - 12) / 6 = -1
3. Определим знаки производной на интервалах.

Теперь мы имеем критические точки x = -1 и x = 3. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 3)
• (3, +∞)

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в производную f'(x):

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2:
f'(-2) = 9 + 6*(-2) - 3*(-2)² = 9 - 12 - 12 = -15 (меньше 0) (функция убывает)
• Для интервала (-1, 3), например, x = 0:
f'(0) = 9 + 6*0 - 3*0² = 9 (больше 0) (функция возрастает)
• Для интервала (3, +∞), например, x = 4:
f'(4) = 9 + 6*4 - 3*4² = 9 + 24 - 48 = -15 (меньше 0) (функция убывает)
4. Сделаем вывод.

Таким образом, функция f(x) увеличивается на интервале (-1, 3) и уменьшается на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞).

Ответ: Функция f(x) увеличивается на интервале (-1, 3) и уменьшается на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞).