Площадь поверхности первого шара в 36 раз больше площади поверхности второго шара. Как можно определить, во сколько раз объем первого шара превышает объем второго шара?
Математика11 классГеометрияплощадь поверхности шараобъем шарасоотношение объемовгеометрияматематика 11 классзадачи на объемыпропорции в геометрии
Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы для площади поверхности и объема шара.
1. Формулы для шара:
2. Обозначим радиусы двух шаров:
3. Условие задачи:
Площадь поверхности первого шара в 36 раз больше площади поверхности второго шара, то есть:
S1 = 36 * S2.
Подставим формулы для площадей:
4 * π * r1² = 36 * (4 * π * r2²).
Сократим 4 * π с обеих сторон:
r1² = 36 * r2².
4. Найдем отношение радиусов:
Теперь, чтобы найти отношение радиусов, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
r1 = 6 * r2.
5. Теперь найдем объемы шаров:
Используем формулу для объема:
V1 = (4/3) * π * r1³ и V2 = (4/3) * π * r2³.
Подставим r1 = 6 * r2 в формулу для V1:
V1 = (4/3) * π * (6 * r2)³.
Это равно:
V1 = (4/3) * π * 216 * r2³ = 72 * (4/3) * π * r2³.
Теперь выразим V2:
V2 = (4/3) * π * r2³.
6. Найдем отношение объемов:
Теперь найдем, во сколько раз объем первого шара больше объема второго:
V1 / V2 = (72 * (4/3) * π * r2³) / ((4/3) * π * r2³).
Сокращаем (4/3) * π * r2³:
V1 / V2 = 72.
7. Ответ:
Таким образом, объем первого шара в 72 раза больше объема второго шара.