Площадь поверхности первого шара в 36 раз больше площади поверхности второго шара. Как можно определить, во сколько раз объем первого шара превышает объем второго шара?

Математика 11 класс Геометрия площадь поверхности шара объем шара соотношение объемов геометрия математика 11 класс задачи на объемы пропорции в геометрии Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы для площади поверхности и объема шара.

1. Формулы для шара:

• Площадь поверхности шара: S = 4 * π * r², где r - радиус шара.
• Объем шара: V = (4/3) * π * r³.

2. Обозначим радиусы двух шаров:

• r1 - радиус первого шара.
• r2 - радиус второго шара.

3. Условие задачи:

Площадь поверхности первого шара в 36 раз больше площади поверхности второго шара, то есть:

S1 = 36 * S2.

Подставим формулы для площадей:

4 * π * r1² = 36 * (4 * π * r2²).

Сократим 4 * π с обеих сторон:

r1² = 36 * r2².

4. Найдем отношение радиусов:

Теперь, чтобы найти отношение радиусов, возьмем квадратный корень из обеих сторон:

r1 = 6 * r2.

5. Теперь найдем объемы шаров:

Используем формулу для объема:

V1 = (4/3) * π * r1³ и V2 = (4/3) * π * r2³.

Подставим r1 = 6 * r2 в формулу для V1:

V1 = (4/3) * π * (6 * r2)³.

Это равно:

V1 = (4/3) * π * 216 * r2³ = 72 * (4/3) * π * r2³.

Теперь выразим V2:

V2 = (4/3) * π * r2³.

6. Найдем отношение объемов:

Теперь найдем, во сколько раз объем первого шара больше объема второго:

V1 / V2 = (72 * (4/3) * π * r2³) / ((4/3) * π * r2³).

Сокращаем (4/3) * π * r2³:

V1 / V2 = 72.

7. Ответ:

Таким образом, объем первого шара в 72 раза больше объема второго шара.