Площадь сектора равна 48 пи см², а угол сектора составляет 120 градусов. Если свернуть этот сектор, получится конус. Какова высота данного конуса?

Математика 11 класс Геометрия площадь сектора угол сектора высота конуса конус из сектора математика 11 класс задачи по геометрии Новый

Для решения задачи нам нужно использовать формулы, связанные с сектором и конусом. Начнем с того, что площадь сектора S можно выразить через радиус r и угол α в радианах:

Формула площади сектора:

S = (α / 360) * π * r²

В нашем случае площадь сектора равна 48π см², а угол составляет 120 градусов. Сначала найдем радиус r сектора, используя формулу:

1. Подставим известные значения в формулу:
2. 48π = (120 / 360) * π * r²
3. Упростим дробь: 120 / 360 = 1 / 3, тогда у нас будет:
4. 48π = (1 / 3) * π * r²
5. Умножим обе стороны уравнения на 3:
6. 144π = π * r²
7. Теперь разделим обе стороны на π:
8. 144 = r²
9. Извлечем квадратный корень:
10. r = 12 см.

Теперь, когда мы нашли радиус сектора, можем перейти к конусу. Радиус основания конуса равен радиусу сектора, то есть r = 12 см. Длина дуги сектора также станет окружностью основания конуса.

Формула длины дуги:

L = (α / 360) * 2 * π * r

Подставим известные значения:

1. L = (120 / 360) * 2 * π * 12
2. Упростим: (120 / 360) = 1 / 3, тогда:
3. L = (1 / 3) * 2 * π * 12
4. L = 8π см.

Теперь мы знаем, что длина окружности основания конуса равна 8π см. Используем формулу длины окружности:

Формула длины окружности:

C = 2 * π * R

Где R - радиус основания конуса. Подставим известные значения:

1. 8π = 2 * π * R
2. Разделим обе стороны на 2π:
3. 4 = R.

Теперь мы знаем, что радиус основания конуса R = 4 см. Следующий шаг - найти высоту конуса h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как образуется прямоугольный треугольник с высотой, радиусом основания и образующей конуса (которая равна радиусу сектора r = 12 см).

Формула для высоты конуса:

h = √(r² - R²)

Подставим значения:

1. h = √(12² - 4²)
2. h = √(144 - 16)
3. h = √128
4. h = √(64 * 2) = 8√2 см.

Таким образом, высота данного конуса составляет 8√2 см.