По координатам вершин пирамиды а1, а2, а3, а4, найди:

1. длину ребер а1а2 и а1а3;
2. угол между ребрами а1а2 и а1а3;
3. площадь грани а1а2а3;
4. объем пирамиды а1а2а3а4;
5. уравнения прямых а1а2 и а1а3;
6. уравнения плоскостей а1а2а3 и а1а2а4;
7. угол между плоскостями а1а2а3 и а1а2а4;
8. угол между ребром а1а3 и гранью а1а2а4;
9. уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1а2а3;
10. уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1а2а3, и вершину а1 пирамиды;
11. расстояние от вершины а3 до плоскости а1а2а4.

Координаты вершин: а1 (3;7;9), а2 (-3;0;7), а3 (2;-3;-5), а4 (1;-2;0).

Математика 11 класс Геометрия длина ребер пирамиды угол между ребрами площадь грани пирамиды объём пирамиды уравнения прямых пирамиды уравнения плоскостей пирамиды Угол между плоскостями угол между ребром и гранью уравнение высоты пирамиды уравнение плоскости пирамиды расстояние до плоскости пирамиды Новый

Давайте последовательно решим все поставленные задачи, используя координаты вершин пирамиды: а1 (3;7;9), а2 (-3;0;7), а3 (2;-3;-5), а4 (1;-2;0).

1. Длина ребер а1а2 и а1а3

Длину отрезка между двумя точками можно найти по формуле:

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

• Для ребра а1а2:
• а1 (3;7;9), а2 (-3;0;7)
• длина а1а2 = √((-3 - 3)² + (0 - 7)² + (7 - 9)²) = √(36 + 49 + 4) = √89
• Для ребра а1а3:
• а1 (3;7;9), а3 (2;-3;-5)
• длина а1а3 = √((2 - 3)² + (-3 - 7)² + (-5 - 9)²) = √(1 + 100 + 196) = √297

2. Угол между ребрами а1а2 и а1а3

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(φ) = (A·B) / (|A| * |B|),

где A и B - векторы.

• Вектор а1а2: A = а2 - а1 = (-3 - 3, 0 - 7, 7 - 9) = (-6, -7, -2)
• Вектор а1а3: B = а3 - а1 = (2 - 3, -3 - 7, -5 - 9) = (-1, -10, -14)
• Скалярное произведение A·B = (-6)(-1) + (-7)(-10) + (-2)(-14) = 6 + 70 + 28 = 104
• |A| = √((-6)² + (-7)² + (-2)²) = √(36 + 49 + 4) = √89
• |B| = √((-1)² + (-10)² + (-14)²) = √(1 + 100 + 196) = √297
• cos(φ) = 104 / (√89 * √297)

3. Площадь грани а1а2а3

Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 * |A x B|,

где A и B - векторы, образующие треугольник.

• Вектор A = а2 - а1 = (-6, -7, -2)
• Вектор B = а3 - а1 = (-1, -10, -14)
• Векторное произведение A x B:
• i: (-7)(-14) - (-2)(-10) = 98 - 20 = 78
• j: -((-6)(-14) - (-2)(-1)) = -84 + 2 = -82
• k: (-6)(-10) - (-7)(-1) = 60 - 7 = 53
• Векторное произведение A x B = (78, -82, 53)
• Длина векторного произведения = √(78² + (-82)² + 53²) = √(6084 + 6724 + 2809) = √15617
• Площадь S = 0.5 * √15617

4. Объем пирамиды а1а2а3а4

Объем можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания, h - высота.

• Площадь основания S = S(а1а2а3)
• Для высоты h найдем расстояние от точки а4 до плоскости, проходящей через а1, а2, а3.

5. Уравнения прямых а1а2 и а1а3

Уравнение прямой можно записать в параметрической форме:

• Прямая а1а2: (x, y, z) = (3, 7, 9) + t*(-6, -7, -2)
• Прямая а1а3: (x, y, z) = (3, 7, 9) + s*(-1, -10, -14)

6. Уравнения плоскостей а1а2а3 и а1а2а4

Уравнение плоскости можно записать в виде:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

• Плоскость а1а2а3: нормальный вектор = A x B
• Плоскость а1а2а4: нормальный вектор = (а2 - а1) x (а4 - а1)

7. Угол между плоскостями а1а2а3 и а1а2а4

Угол между плоскостями можно найти по формуле:

cos(α) = (N1 · N2) / (|N1| * |N2|),

где N1 и N2 - нормальные векторы плоскостей.

8. Угол между ребром а1а3 и гранью а1а2а4

Угол можно найти аналогично с помощью нормального вектора грани и вектора ребра.

9. Уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1а2а3

Высота будет перпендикулярна плоскости а1а2а3. Уравнение высоты можно записать в параметрической форме.

10. Уравнение плоскости, проходящей через высоту и вершину а1

Для этого можно использовать координаты точки а1 и уравнение высоты.

11. Расстояние от вершины а3 до плоскости а1а2а4

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²),

где (x0, y0, z0) - координаты точки, а A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости.

Теперь, когда мы разобрали все шаги, вам нужно будет подставить значения и произвести вычисления для получения окончательных результатов.