По координатам вершин пирамиды а1, а2, а3, а4, найди:

1. длину ребер а1а2 и а1а3;
2. угол между ребрами а1а2 и а1а3;
3. площадь грани а1а2а3;
4. объем пирамиды а1а2а3а4;
5. уравнения прямых а1а2 и а1а3;
6. уравнения плоскостей а1а2а3 и а1а2а4;
7. угол между плоскостями а1а2а3 и а1а2а4;
8. угол между ребром а1а3 и гранью а1а2а4;
9. уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1а2а3;
10. уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1а2а3, и вершину а1 пирамиды;
11. расстояние от вершины а3 до плоскости а1а2а4.

Координаты вершин: а1 (3;7;9), а2 (-3;0;7), а3 (2;-3;-5), а4 (1;-2;0).

Математика 11 класс Геометрия длина ребер пирамиды угол между ребрами площадь грани пирамиды объём пирамиды уравнения прямых пирамиды уравнения плоскостей пирамиды Угол между плоскостями угол между ребром и гранью уравнение высоты пирамиды уравнение плоскости через высоту расстояние до плоскости пирамиды Новый

Давай разберем все шаги по порядку! Это будет увлекательное путешествие в мир геометрии!

1. Длина ребер a1a2 и a1a3:

• Длина a1a2 = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) = √((-3 - 3)² + (0 - 7)² + (7 - 9)²) = √(36 + 49 + 4) = √89.
• Длина a1a3 = √((2 - 3)² + (-3 - 7)² + (-5 - 9)²) = √((-1)² + (-10)² + (-14)²) = √(1 + 100 + 196) = √297.

2. Угол между ребрами a1a2 и a1a3:

Для нахождения угла используем скалярное произведение векторов:

• Вектор a1a2 = (-6, -7, -2),
• Вектор a1a3 = (-1, -10, -14).
• Скалярное произведение = (-6)(-1) + (-7)(-10) + (-2)(-14) = 6 - 70 + 28 = -36.
• Косинус угла = (скалярное произведение) / (длина a1a2 * длина a1a3).

3. Площадь грани a1a2a3:

Используем формулу площади треугольника:

• Площадь = 0.5 * |(a1a2 × a1a3)|, где × - векторное произведение.

4. Объем пирамиды a1a2a3a4:

Объем V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания a1a2a3, h - высота от a4 до плоскости a1a2a3.

5. Уравнения прямых a1a2 и a1a3:

• Прямая a1a2: x = 3 - 6t, y = 7 - 7t, z = 9 - 2t, где t - параметр.
• Прямая a1a3: x = 3 - t, y = 7 - 10t, z = 9 - 14t.

6. Уравнения плоскостей a1a2a3 и a1a2a4:

• Плоскость a1a2a3: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - координаты нормали, D - свободный член.
• Плоскость a1a2a4: аналогично, используя координаты a1, a2, a4.

7. Угол между плоскостями a1a2a3 и a1a2a4:

Угол между плоскостями можно найти по нормалям к ним.

8. Угол между ребром a1a3 и гранью a1a2a4:

Используем аналогичный метод, как и для ребер.

9. Уравнение высоты, опущенной из вершины a4 на грань a1a2a3:

Это прямая, перпендикулярная плоскости a1a2a3 и проходящая через a4.

10. Уравнение плоскости, проходящей через высоту и вершину a1:

Используем координаты a1 и направление высоты.

11. Расстояние от вершины a3 до плоскости a1a2a4:

Используем формулу расстояния от точки до плоскости.

Вот такие увлекательные расчеты нас ждут! Надеюсь, это вдохновит тебя на дальнейшие исследования в геометрии!