Давайте найдем производные для заданных функций по шагам.

Для нахождения производной функции y = ln(ctg(2x)),мы будем использовать правило производной логарифмической функции и цепное правило. Напомним, что производная ln(u) равна 1/u * du/dx, где u – это функция, от которой мы берем логарифм.

1. Сначала найдем производную ctg(2x). Мы знаем, что производная ctg(u) равна -csc²(u) * du/dx. В нашем случае u = 2x, поэтому:
• du/dx = 2
• Таким образом, производная ctg(2x) будет равна -csc²(2x) * 2.
2. Теперь применим цепное правило к ln(ctg(2x)):
• dy/dx = 1/(ctg(2x)) * (-csc²(2x) * 2).
• Это упрощается до: dy/dx = -2 * csc²(2x) / ctg(2x).
3. Теперь используем идентичности: csc²(2x) = 1/sin²(2x) и ctg(2x) = cos(2x)/sin(2x). Подставляем это в нашу производную:
• dy/dx = -2 * (1/sin²(2x)) / (cos(2x)/sin(2x)) = -2 * (1/sin(2x) * cos(2x)) = -2 * (cot(2x)).

Таким образом, производная функции y = ln(ctg(2x)) равна:

Для нахождения производной функции y = 3x/(2x² + 1) мы можем использовать правило деления. Если у нас есть функция в виде u/v, то производная равна (v * du/dx - u * dv/dx) / v², где u = 3x и v = 2x² + 1.

1. Сначала найдем производные u и v:
• u = 3x, du/dx = 3.
• v = 2x² + 1, dv/dx = 4x.
2. Теперь применим правило деления:
• dy/dx = [(2x² + 1) * 3 - (3x) * (4x)] / (2x² + 1)².
• Упростим числитель:
• dy/dx = [6x² + 3 - 12x²] / (2x² + 1)² = [-6x² + 3] / (2x² + 1)².

Таким образом, производная функции y = 3x/(2x² + 1) равна:

Теперь у вас есть обе производные. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!