Помогите, пожалуйста, доказать, что функция f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 не имеет экстремумов.

Математика 11 класс Экстремумы функций доказать функция f(x) экстремумы математика 11 класс анализ функции производная критические точки исследование функции Новый

Чтобы доказать, что функция f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 не имеет экстремумов, нам нужно проанализировать её производную. Экстремумы функции возникают там, где производная равна нулю или не существует. Поэтому начнем с нахождения производной функции f(x).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Производная функции f(x) будет:

f'(x) = 3x² - 6x + 3.

Шаг 2: Упростим производную.

Мы можем упростить производную, вынеся общий множитель:

f'(x) = 3(x² - 2x + 1).

Теперь заметим, что выражение в скобках можно упростить дальше:

x² - 2x + 1 = (x - 1)².

Таким образом, производная станет:

f'(x) = 3(x - 1)².

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю.

Теперь мы можем найти, где f'(x) = 0:

• 3(x - 1)² = 0.
• (x - 1)² = 0.
• x - 1 = 0.
• x = 1.

Таким образом, у нас есть одна точка, где производная равна нулю: x = 1.

Шаг 4: Определим, является ли эта точка экстремумом.

Теперь мы проверим, является ли x = 1 точкой экстремума. Для этого нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

• Для x < 1, например, x = 0: f'(0) = 3(0 - 1)² = 3 > 0.
• Для x > 1, например, x = 2: f'(2) = 3(2 - 1)² = 3 > 0.

Таким образом, производная f'(x) > 0 как для x < 1, так и для x > 1. Это означает, что функция f(x) не меняет знак производной, и следовательно, в точке x = 1 нет экстремума.

Вывод:

Функция f(x) = x³ - 3x² + 3x + 1 не имеет экстремумов, так как производная f'(x) не меняет знак и равна нулю только в одной точке, где функция продолжает возрастать.