Давайте разберем, как вычислить производные данных функций шаг за шагом.

1. Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования степенной функции: если f(x) = ax^n, то f'(x) = n * ax^(n-1).
2. Применим это правило к каждому члену функции:
• Для первого члена (1/3)x^9: производная будет 9 * (1/3)x^(9-1) = 3x^8.
• Для второго члена 2x^10: производная будет 10 * 2x^(10-1) = 20x^9.
3. Теперь объединим результаты:
f'(x) = 3x^8 + 20x^9.

1. Сначала упростим функцию. Мы можем переписать 4/x как 4x^(-1), тогда:
f(x) = 4x^(-1)(x^3 - 5).
2. Теперь применим правило произведения: если u(x) и v(x) - функции, то (uv)' = u'v + uv'. Здесь u(x) = 4x^(-1) и v(x) = x^3 - 5.
3. Сначала найдем производные u' и v':
• u'(x) = -4x^(-2).
• v'(x) = 3x^2.
4. Теперь применим правило произведения:
f'(x) = u'v + uv' = (-4x^(-2))(x^3 - 5) + (4x^(-1))(3x^2).
5. Упростим это выражение:
• Первый член: -4x^(-2)(x^3 - 5) = -4x + 20x^(-2).
• Второй член: 4x^(-1)(3x^2) = 12.
6. Объединим результаты:
f'(x) = -4x + 20/x^2 + 12.

1. Сначала перепишем второй член: 1/x^3 = x^(-3).
f(x) = x - x^(-3).
2. Теперь найдем производную:
• Для первого члена x: производная будет 1.
• Для второго члена -x^(-3): производная будет -(-3)x^(-4) = 3x^(-4).
3. Теперь объединим результаты:
f'(x) = 1 + 3/x^4.

Итак, мы нашли производные для всех трех функций:

• a) f'(x) = 3x^8 + 20x^9;
• б) f'(x) = -4x + 20/x^2 + 12;
• в) f'(x) = 1 + 3/x^4.