Чтобы вычислить производную функции y = 5tgx + 4arcctgx, нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования для каждой части функции. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определим компоненты функции:
   • Первая часть: 5tgx
   • Вторая часть: 4arcctgx
2. Вычислим производную первой части:
   • Помним, что производная функции tgx равна sec^2(x).
   • Следовательно, производная 5tgx будет равна 5 * sec^2(x).
3. Вычислим производную второй части:
   • Производная arcctg(x) равна -1/(1 + x^2).
   • Таким образом, производная 4arcctgx будет равна 4 * (-1/(1 + x^2)) = -4/(1 + x^2).
4. Соберем все части вместе:
   • Теперь мы можем объединить обе производные:
   • y' = 5sec^2(x) - 4/(1 + x^2).

Итак, производная функции y = 5tgx + 4arcctgx равна:

y' = 5sec^2(x) - 4/(1 + x^2).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!