Помогите, пожалуйста, определить производную функции f(x) = ∛(2t - t²) и найти значение f'(4).

Математика 11 класс Производные функций производная функции определение производной f(x) = ∛(2t - t²) значение f'(4) математика 11 класс Новый

Давайте начнем с определения производной функции f(x) = ∛(2t - t²). Для этого нам нужно воспользоваться правилом производной сложной функции.

1. Сначала запишем функцию в более удобной форме:

f(t) = (2t - t²)^(1/3)

2. Теперь применим правило производной сложной функции, которое гласит, что если у нас есть функция g(x) = h(u(x)), то производная g' равна h'(u(x)) * u'(x).

В нашем случае:

• h(u) = u^(1/3), где u = 2t - t²
• u(t) = 2t - t²

3. Найдем производную h'(u):

h'(u) = (1/3) * u^(-2/3)

4. Теперь найдем производную u'(t):

u'(t) = 2 - 2t

5. Теперь мы можем найти f'(t):

f'(t) = h'(u) * u'(t) = (1/3) * (2t - t²)^(-2/3) * (2 - 2t)

Теперь у нас есть выражение для производной функции f(t).

6. Теперь давайте найдем значение f'(4). Для этого подставим t = 4 в наше выражение для производной:

u(4) = 2(4) - (4)² = 8 - 16 = -8

Теперь подставим это значение в производную:

f'(4) = (1/3) * (-8)^(-2/3) * (2 - 2*4)

7. Найдем значения:

• (2 - 2*4) = 2 - 8 = -6
• (-8)^(-2/3) = 1 / ((-8)^(2/3)) = 1 / (4) = 1/4

8. Теперь подставим все в формулу:

f'(4) = (1/3) * (1/4) * (-6) = -6 / 12 = -1/2

Таким образом, значение производной f'(4) равно -1/2.