Помогите, пожалуйста, с решением задачи 20. Как найти вторую производную функции sqrt(9 - x^2)?

Математика 11 класс Производные функций вторая производная функция sqrt(9 - x^2) задача 20 математика 11 класс Новый

Давайте найдем вторую производную функции f(x) = sqrt(9 - x^2). Для этого сначала найдем первую производную, а затем вторую.

Шаг 1: Найдем первую производную.

Функция f(x) = sqrt(9 - x^2) может быть записана как f(x) = (9 - x^2)^(1/2). Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Сначала применим правило цепочки:

• Внешняя функция: u^(1/2), где u = 9 - x^2.
• Внутренняя функция: u = 9 - x^2.

Теперь найдем производные обеих функций:

• Производная внешней функции: (1/2) * u^(-1/2) = (1/2) * (9 - x^2)^(-1/2).
• Производная внутренней функции: -2x.

Теперь применим правило произведения:

f'(x) = (1/2) * (9 - x^2)^(-1/2) * (-2x).

Упростим это выражение:

f'(x) = -x / sqrt(9 - x^2).

Шаг 2: Найдем вторую производную.

Теперь найдем вторую производную f''(x) от f'(x) = -x / sqrt(9 - x^2).

Для этого снова применим правило деления:

• Числитель: -x, производная которого равна -1.
• Знаменатель: sqrt(9 - x^2), производная которого уже известна и равна -x / sqrt(9 - x^2).

Используем правило производной частного:

Если u = -x и v = sqrt(9 - x^2), то:

f''(x) = (u'v - uv') / v^2, где u' = -1 и v' = -x / sqrt(9 - x^2).

Подставим эти значения:

f''(x) = (-1 * sqrt(9 - x^2) - (-x) * (-x / sqrt(9 - x^2))) / (9 - x^2).

Упростим это выражение:

f''(x) = (-sqrt(9 - x^2) - x^2 / sqrt(9 - x^2)) / (9 - x^2).

Теперь объединим дроби в числителе:

f''(x) = (-sqrt(9 - x^2) * sqrt(9 - x^2) - x^2) / ((9 - x^2) * sqrt(9 - x^2)).

Это упростится до:

f''(x) = (-(9 - x^2) - x^2) / ((9 - x^2) * sqrt(9 - x^2)).

И, наконец, получим:

f''(x) = -9 / ((9 - x^2) * sqrt(9 - x^2)).

Ответ: Вторая производная функции f(x) = sqrt(9 - x^2) равна f''(x) = -9 / ((9 - x^2) * sqrt(9 - x^2)).