Помогите, пожалуйста!

1. Три числа, сумма которых равна 18, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если от первого числа вычесть 2, от второго - 3, а третье число оставить без изменений, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Каковы эти числа?
2. В арифметической прогрессии сумма первых четырех членов составляет 80. Какова будет сумма шести первых членов этой прогрессии, если первый член равен разности прогрессии?
3. Какое минимальное количество членов прогрессии 31,5; 36,5; 41,5 необходимо взять, чтобы их сумма превышала 84?

Математика 11 класс Арифметическая прогрессия математика 11 класс арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии последовательные числа решение задач по математике Новый

Давайте разберем каждую из ваших задач по порядку.

Задача 1: Найти три числа, сумма которых равна 18, и которые являются последовательными членами арифметической прогрессии.

1. Обозначим три числа как a - d, a и a + d, где a - среднее число, а d - разность прогрессии.
2. Составим уравнение для суммы: (a - d) + a + (a + d) = 18. Упрощая, получаем 3a = 18, отсюда a = 6.
3. Теперь подставим a в выражения для чисел: первое число = 6 - d, второе = 6, третье = 6 + d.
4. Теперь применим условие для геометрической прогрессии: (6 - d - 2), (6 - 3), (6 + d). Это будет: (4 - d), 3, (6 + d).
5. Для того чтобы эти числа были членами геометрической прогрессии, должно выполняться равенство: (4 - d) * (6 + d) = 3^2.
6. Решаем уравнение: (4 - d)(6 + d) = 9. Раскрываем скобки: 24 + 4d - 6d - d^2 = 9, что дает -d^2 - 2d + 15 = 0.
7. Умножим на -1: d^2 + 2d - 15 = 0. Решаем это квадратное уравнение: d = (-2 ± √(4 + 60))/2 = (-2 ± 8)/2.
8. Получаем два значения: d = 3 и d = -5. Подставляем d в выражения для чисел:
9. Если d = 3, то числа: 3, 6, 9. Если d = -5, то числа: 11, 6, 1.

Таким образом, возможные наборы чисел: 3, 6, 9 и 11, 6, 1.

Задача 2: Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 80, и первый член равен разности прогрессии.

1. Обозначим первый член как a, а разность как d. Тогда первый член равен d, т.е. a = d.
2. Сумма первых четырех членов: S4 = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 4a + 6d.
3. Подставляем a = d: S4 = 4d + 6d = 10d. Условие задачи: 10d = 80, отсюда d = 8.
4. Теперь найдем сумму шести первых членов: S6 = 6a + 15d = 6d + 15d = 21d = 21 * 8 = 168.

Ответ: сумма шести первых членов будет равна 168.

Задача 3: Какое минимальное количество членов прогрессии 31,5; 36,5; 41,5 необходимо взять, чтобы их сумма превышала 84?

1. Определим разность прогрессии: d = 36,5 - 31,5 = 5.
2. Первый член прогрессии: a = 31,5.
3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии: Sn = n/2 * (2a + (n - 1)d).
4. Подставим a и d: Sn = n/2 * (2 * 31,5 + (n - 1) * 5) = n/2 * (63 + 5n - 5) = n/2 * (5n + 58).
5. Сравниваем с 84: n/2 * (5n + 58) > 84. Умножим обе стороны на 2: n(5n + 58) > 168.
6. Решим неравенство: 5n^2 + 58n - 168 > 0. Используем дискриминант: D = 58^2 - 4 * 5 * (-168) = 3364 + 3360 = 6724.
7. Находим корни: n = (-58 ± √6724) / 10. Корень √6724 = 82. Таким образом, n = (-58 + 82) / 10 = 2,4 и n = (-58 - 82) / 10 = -14.
8. Поскольку n должно быть положительным, берем n = 3 (округляем до целого).

Теперь проверим: S3 = 3/2 * (2 * 31,5 + 2 * 5) = 3/2 * (63 + 10) = 3/2 * 73 = 109, что больше 84. Таким образом, минимальное количество членов прогрессии, чтобы сумма превышала 84, равно 3.

Ответ: 3 члена.