Помогите решить, пожалуйста, вопрос по математике: Как найти производную функции:

1. y = x^3 + 4x^2 - 1/x^2
2. y = x^5 + 4x^4 - 1/x^2
3. y = x(x^3 + 4x^2 - 1)

Математика 11 класс Производные функций производная функции найти производную математика 11 класс решение задачи по математике производная x^3 производная x^5 производная дробной функции производная многочлена правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило степени и правило производной суммы. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = x^3 + 4x^2 - 1/x^2

Для этой функции мы можем переписать -1/x^2 как -x^(-2), чтобы использовать правило степени. Теперь у нас есть:

y = x^3 + 4x^2 - x^(-2)

Теперь найдем производную:

1. Производная x^3: 3x^(3-1) = 3x^2
2. Производная 4x^2: 4 * 2x^(2-1) = 8x
3. Производная -x^(-2): -(-2)x^(-2-1) = 2x^(-3) = 2/x^3

Теперь сложим все производные:

y' = 3x^2 + 8x + 2/x^3

2. Функция: y = x^5 + 4x^4 - 1/x^2

Аналогично, переписываем -1/x^2 как -x^(-2):

y = x^5 + 4x^4 - x^(-2)

Теперь найдем производную:

1. Производная x^5: 5x^(5-1) = 5x^4
2. Производная 4x^4: 4 * 4x^(4-1) = 16x^3
3. Производная -x^(-2): 2/x^3 (как мы уже находили ранее)

Складываем производные:

y' = 5x^4 + 16x^3 + 2/x^3

3. Функция: y = x(x^3 + 4x^2 - 1)

Здесь мы можем использовать правило произведения. Обозначим f(x) = x и g(x) = x^3 + 4x^2 - 1.

По правилу произведения производная y' будет равна:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Где:

1. f'(x) = 1
2. g(x) = x^3 + 4x^2 - 1
3. g'(x) = 3x^2 + 8x

Теперь подставим в формулу:

y' = 1 * (x^3 + 4x^2 - 1) + x * (3x^2 + 8x)

Упрощаем:

y' = x^3 + 4x^2 - 1 + 3x^3 + 8x^2 = 4x^3 + 12x^2 - 1

Теперь у нас есть производные для всех трех функций:

• Для y = x^3 + 4x^2 - 1/x^2: y' = 3x^2 + 8x + 2/x^3
• Для y = x^5 + 4x^4 - 1/x^2: y' = 5x^4 + 16x^3 + 2/x^3
• Для y = x(x^3 + 4x^2 - 1): y' = 4x^3 + 12x^2 - 1