Помогите с задачкой, пожалуйста: в правильной шестиугольной пирамиде апофема равна 4 √7, а косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания равен √21/7. Как найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания?

Математика 11 класс Геометрия правильная шестиугольная пирамида апофема угол наклона бокового ребра косинус угла плоскость основания задачи по математике Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать тригонометрические свойства и геометрические соотношения в правильной шестиугольной пирамиде.

Шаг 1: Определение элементов пирамиды

• Обозначим апофему пирамиды как h = 4√7.
• Обозначим угол между боковой гранью и плоскостью основания как α, косинус которого равен cos(α) = √21/7.
• Нам нужно найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, обозначим его как β.

Шаг 2: Использование тригонометрических соотношений

Сначала найдем синус угла α, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos²(α) + sin²(α) = 1.
• Подставим значение cos(α):
• sin²(α) = 1 - (√21/7)² = 1 - 21/49 = 28/49 = 4/7.
• Следовательно, sin(α) = √(4/7) = 2/√7.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и высотой

В этом треугольнике:

• Боковое ребро - это гипотенуза, его длину обозначим как l.
• Апофема - это противолежащая сторона, равная 4√7.
• Высота h - это прилежащая сторона, которую мы можем выразить через угол α.

Используя определение синуса, мы можем записать:

• sin(α) = противолежащая / гипотенуза = (4√7) / l.

Теперь выразим l:

• l = (4√7) / sin(α) = (4√7) / (2/√7) = 14.

Шаг 4: Найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Теперь мы можем использовать косинус угла β, который мы ищем:

• cos(β) = h / l, где h - это высота пирамиды.

Чтобы найти h, используем cos(α):

• h = l * cos(α) = 14 * (√21/7) = 2√21.

Теперь подставим h и l в формулу для cos(β):

• cos(β) = (2√21) / 14 = √21 / 7.

Шаг 5: Найдем угол β

Теперь мы можем найти угол β:

• β = arccos(√21 / 7).

Таким образом, угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания равен arccos(√21 / 7). Это и будет ответом на вашу задачу.