Для решения этой задачи мы будем использовать тригонометрические свойства и геометрические соотношения в правильной шестиугольной пирамиде.

Шаг 1: Определение элементов пирамиды

• Обозначим апофему пирамиды как h = 4√7.
• Обозначим угол между боковой гранью и плоскостью основания как α, косинус которого равен cos(α) = √21/7.
• Нам нужно найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, обозначим его как β.

Шаг 2: Использование тригонометрических соотношений

Сначала найдем синус угла α, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos²(α) + sin²(α) = 1.
• Подставим значение cos(α):
• sin²(α) = 1 - (√21/7)² = 1 - 21/49 = 28/49 = 4/7.
• Следовательно, sin(α) = √(4/7) = 2/√7.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и высотой

В этом треугольнике:

• Боковое ребро - это гипотенуза, его длину обозначим как l.
• Апофема - это противолежащая сторона, равная 4√7.
• Высота h - это прилежащая сторона, которую мы можем выразить через угол α.

Используя определение синуса, мы можем записать:

• sin(α) = противолежащая / гипотенуза = (4√7) / l.

Теперь выразим l:

• l = (4√7) / sin(α) = (4√7) / (2/√7) = 14.

Шаг 4: Найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Теперь мы можем использовать косинус угла β, который мы ищем:

• cos(β) = h / l, где h - это высота пирамиды.

Чтобы найти h, используем cos(α):

• h = l * cos(α) = 14 * (√21/7) = 2√21.

Теперь подставим h и l в формулу для cos(β):

• cos(β) = (2√21) / 14 = √21 / 7.

Шаг 5: Найдем угол β

Теперь мы можем найти угол β:

• β = arccos(√21 / 7).

Таким образом, угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания равен arccos(√21 / 7). Это и будет ответом на вашу задачу.