При каких значениях a функция y=(a-2)x^3-9ax-1 будет убывать на всей числовой прямой?

Математика 11 класс Анализ функций значения a функция y убывание числовая прямая математический анализ Новый

Чтобы определить, при каких значениях a функция y = (a - 2)x^3 - 9ax - 1 будет убывать на всей числовой прямой, нам нужно проанализировать производную этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция y = (a - 2)x^3 - 9ax - 1 имеет вид многочлена, и мы можем найти ее производную по x:

• Производная от (a - 2)x^3 равна 3(a - 2)x^2.
• Производная от -9ax равна -9a.
• Производная от -1 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

y' = 3(a - 2)x^2 - 9a.

Шаг 2: Установим условия для убывания функции.

Функция будет убывать на всей числовой прямой, если ее производная y' меньше нуля для всех x. Рассмотрим производную:

y' = 3(a - 2)x^2 - 9a.

Шаг 3: Анализируем производную.

1. Для того чтобы y' < 0 для всех x, важно, чтобы коэффициент при x^2 был отрицательным, так как x^2 всегда неотрицательно.

2. Следовательно, мы должны иметь:

• 3(a - 2) < 0.

Это приводит к неравенству:

• a - 2 < 0, что означает a < 2.

Шаг 4: Проверяем значение -9a.

Кроме того, для того чтобы функция была убывающей, необходимо, чтобы -9a также было отрицательным, т.е.:

• -9a < 0, что означает a > 0.

Шаг 5: Объединяем условия.

Таким образом, мы имеем два условия:

• a < 2
• a > 0

Эти два условия можно объединить в одно:

0 < a < 2.

Шаг 6: Заключение.

Функция y = (a - 2)x^3 - 9ax - 1 будет убывать на всей числовой прямой при значениях a, которые удовлетворяют условию:

0 < a < 2.