Прикладная математика. Как найти область определения, четкость и нечетность, а также асимптоты (горизонтальную, вертикальную и наклонную) для функции y = x^2 * корень из (1 - x)?

Математика 11 класс Функции и их графики область определения четкость функции нечетность функции асимптоты горизонтальная асимптота вертикальная асимптота наклонная асимптота функция y = x^2 * корень из (1 - x) прикладная математика 11 класс Новый

Давайте подробно разберем, как найти область определения, четность и нечетность, а также асимптоты для функции y = x^2 * корень из (1 - x).

1. Область определения

Область определения функции - это множество значений переменной x, при которых функция имеет смысл. В нашем случае, функция содержит корень, поэтому необходимо учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

• 1 - x ≥ 0

Решим неравенство:

• 1 ≥ x
• или x ≤ 1

Кроме того, поскольку корень из (1 - x) является множителем, x^2 всегда будет неотрицательным. Таким образом, область определения функции будет:

• x ≤ 1
• и x может принимать любые значения от -∞ до 1.

Итак, область определения: (-∞, 1].

2. Четность и нечетность

Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, нам нужно подставить -x вместо x и сравнить с оригинальной функцией:

• f(-x) = (-x)^2 * корень из (1 - (-x))
• f(-x) = x^2 * корень из (1 + x)

Как видно, f(-x) не равна f(x) и не равна -f(x). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Асимптоты

Теперь найдем асимптоты.

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при x, стремящемся к бесконечности. В данном случае:

• lim (x → +∞) y = lim (x → +∞) (x^2 * корень из (1 - x)) = 0, так как корень из (1 - x) будет стремиться к 0.

Следовательно, горизонтальная асимптота: y = 0.

Вертикальная асимптота

Вертикальные асимптоты возникают там, где функция не определена или стремится к бесконечности. В нашей функции, как мы уже выяснили, область определения ограничена слева значением x = 1:

• При x → 1, y стремится к 0, и функция определена.

Таким образом, вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота

Наклонная асимптота существует, если степень числителя больше степени знаменателя. В нашем случае функция не имеет дробной формы, поэтому наклонной асимптоты тоже нет.

Итог

Мы нашли следующее для функции y = x^2 * корень из (1 - x):

• Область определения: (-∞, 1]
• Функция нечетная и нечетная.
• Горизонтальная асимптота: y = 0.
• Вертикальных асимптот нет.
• Наклонной асимптоты нет.