Для решения задачи начнем с анализа куба и его характеристик. У нас есть куб со стороной (ребром) 3 см. Обозначим вершины куба следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 3, 0)
• D(0, 3, 0)
• E(0, 0, 3)
• F(3, 0, 3)
• G(3, 3, 3)
• H(0, 3, 3)

Теперь определим, что такое диагональ основания. В нашем случае основание - это квадрат ABCD. Диагональ AC будет равна:

AC = sqrt((3-0)² + (3-0)²) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3√2 см.

Плоскость проходит через диагональ AC под углом 30° к плоскости основания. Для определения координат точки K, где плоскость пересекает боковое ребро (например, ребро AE), нужно найти уравнение плоскости.

Угловой коэффициент, образуемый плоскостью и основанием, равен тангенсу угла наклона:

tan(30°) = 1/√3.

Теперь, чтобы найти координаты точки K, нам нужно использовать уравнение плоскости и учесть, что плоскость проходит через точку A(0, 0, 0) и имеет направляющий вектор, который можно определить по диагонали AC и углу наклона. Направляющий вектор можно взять как (3, 3, z), где z - высота, которую мы определим.

Поскольку угол 30° соответствует тангенсу 1/√3, мы можем выразить z как:

z = (3/√3) * t, где t - параметр, который мы можем варьировать.

Теперь определим точку K на ребре AE, где E(0, 0, 3). Параметр t будет равен 1, когда мы находимся в точке K. Таким образом:

K(0, 0, 3 - (3/√3) * 1) = K(0, 0, 3 - √3).

Теперь мы можем найти координаты точек B, D и K:

• B(3, 0, 0)
• D(0, 3, 0)
• K(0, 0, 3 - √3)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника BDK, используем формулу для площади треугольника, заданного координатами вершин:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставим координаты точек B, D и K:

x1 = 3, y1 = 0; x2 = 0, y2 = 3; x3 = 0, y3 = 3 - √3.

Теперь подставим в формулу:

Площадь = 0.5 * |3(3 - (3 - √3)) + 0((3 - √3) - 0) + 0(0 - 3)|.

Упрощаем выражение:

Площадь = 0.5 * |3(√3)| = 1.5√3 см².

Таким образом, площадь треугольника BDK равна 1.5√3 см².