Ребро куба равно 3 см. Через диагональ основания под углом в 30° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Какова площадь треугольника BDK?

Математика 11 класс Геометрия площадь треугольника Ребро куба диагональ основания угол 30 градусов боковое ребро геометрия 11 класс математика Новый

Для решения задачи начнем с анализа куба и его характеристик. У нас есть куб со стороной (ребром) 3 см. Обозначим вершины куба следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 3, 0)
• D(0, 3, 0)
• E(0, 0, 3)
• F(3, 0, 3)
• G(3, 3, 3)
• H(0, 3, 3)

Теперь определим, что такое диагональ основания. В нашем случае основание - это квадрат ABCD. Диагональ AC будет равна:

AC = sqrt((3-0)² + (3-0)²) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3√2 см.

Плоскость проходит через диагональ AC под углом 30° к плоскости основания. Для определения координат точки K, где плоскость пересекает боковое ребро (например, ребро AE), нужно найти уравнение плоскости.

Угловой коэффициент, образуемый плоскостью и основанием, равен тангенсу угла наклона:

tan(30°) = 1/√3.

Теперь, чтобы найти координаты точки K, нам нужно использовать уравнение плоскости и учесть, что плоскость проходит через точку A(0, 0, 0) и имеет направляющий вектор, который можно определить по диагонали AC и углу наклона. Направляющий вектор можно взять как (3, 3, z), где z - высота, которую мы определим.

Поскольку угол 30° соответствует тангенсу 1/√3, мы можем выразить z как:

z = (3/√3) * t, где t - параметр, который мы можем варьировать.

Теперь определим точку K на ребре AE, где E(0, 0, 3). Параметр t будет равен 1, когда мы находимся в точке K. Таким образом:

K(0, 0, 3 - (3/√3) * 1) = K(0, 0, 3 - √3).

Теперь мы можем найти координаты точек B, D и K:

• B(3, 0, 0)
• D(0, 3, 0)
• K(0, 0, 3 - √3)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника BDK, используем формулу для площади треугольника, заданного координатами вершин:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставим координаты точек B, D и K:

x1 = 3, y1 = 0; x2 = 0, y2 = 3; x3 = 0, y3 = 3 - √3.

Теперь подставим в формулу:

Площадь = 0.5 * |3(3 - (3 - √3)) + 0((3 - √3) - 0) + 0(0 - 3)|.

Упрощаем выражение:

Площадь = 0.5 * |3(√3)| = 1.5√3 см².

Таким образом, площадь треугольника BDK равна 1.5√3 см².