Решите уравнение 2cos^2 x √2 cos(x - П/2) = 0. Укажите корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку [-П/2; 2П].

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение 2cos^2 x корни уравнения отрезок математика 11 класс тригонометрические функции решение уравнения Новый

Для решения уравнения 2cos^2 x √2 cos(x - П/2) = 0 начнем с того, что у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. Первый множитель: 2cos^2 x = 0

Это уравнение можно упростить:

• cos^2 x = 0
• cos x = 0

Функция cos x равна нулю в следующих точках:

• x = П/2 + kП, где k - целое число.

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку [-П/2; 2П]:

• k = -1: x = П/2 - П = -П/2
• k = 0: x = П/2
• k = 1: x = П/2 + П = 3П/2
• k = 2: x = П/2 + 2П = 5П/2 (не входит в отрезок)

Таким образом, корни из первого множителя: -П/2, П/2, 3П/2.

2. Второй множитель: √2 cos(x - П/2) = 0

Упростим это уравнение:

• cos(x - П/2) = 0

Функция cos(x - П/2) равна нулю, когда:

• x - П/2 = П/2 + kП
• x = П + kП

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку [-П/2; 2П]:

• k = -1: x = П - П = 0
• k = 0: x = П
• k = 1: x = П + П = 2П
• k = 2: x = П + 2П = 3П (не входит в отрезок)

Таким образом, корни из второго множителя: 0, П, 2П.

Теперь соберем все корни, которые мы нашли:

• -П/2
• 0
• П/2
• П
• 3П/2
• 2П

Итак, корни уравнения 2cos^2 x √2 cos(x - П/2) = 0, которые принадлежат отрезку [-П/2; 2П]: -П/2, 0, П/2, П, 3П/2, 2П.