Давайте разберем условие задачи. Мы знаем, что Рома выбрал натуральное число n, которое больше 1, и что для любого простого делителя p числа n выполняется следующее равенство:

n + p = k^2,

где k - целое число.

Это равенство можно переписать как:

n = k^2 - p.

Теперь, чтобы понять, какие числа n могут удовлетворять этому условию, рассмотрим несколько шагов:

1. Простые делители: Поскольку p - это простой делитель n, то n должно делиться на p. Это значит, что n можно записать как n = p * m, где m - некоторое натуральное число.
2. Подстановка: Подставим n в наше равенство:
• p * m + p = k^2.
• p * (m + 1) = k^2.
3. Анализ: Мы видим, что p умножается на (m + 1) и результат равен квадрату какого-то целого числа k. Это значит, что p должно быть квадратным делителем k^2.
4. Нахождение возможных n: Теперь рассмотрим возможные значения p. Если p - это простой делитель, то рассмотрим простые числа:
• Если p = 2, то n = k^2 - 2. Значит, k^2 должно быть четным, а это возможно, если k - четное число. Пусть k = 2m, тогда n = 4m^2 - 2.
• Если p = 3, то n = k^2 - 3. Здесь k^2 должно быть нечетным, следовательно, k - нечетное число. Пусть k = 2m + 1, тогда n = (2m + 1)^2 - 3 = 4m^2 + 4m - 2.
• Аналогично можно рассмотреть и другие простые числа.
5. Обобщение: Мы можем заметить, что для любого простого делителя p, n будет иметь вид, при котором n + p является полным квадратом. Если n является произведением простых чисел, то необходимо, чтобы сумма n и любого простого делителя p давала квадрат.

Таким образом, числа n, которые может выбрать Рома, это такие, которые могут быть представлены как произведение простых чисел, удовлетворяющих условию, что n + p является квадратом. Это могут быть числа вида:

• n = 6 (p = 2 и p = 3, 6 + 2 = 8, 6 + 3 = 9)
• n = 10 (p = 2, 10 + 2 = 12, 10 + 5 = 15)
• n = 14 (p = 2, 14 + 2 = 16, 14 + 7 = 21)

Таким образом, Рома мог выбрать такие числа n, для которых выполняется условие задачи. В общем случае, это числа, которые имеют простые делители, сумма с которыми дает квадрат.