Для решения этой задачи давайте разберем, что нам требуется. Мы ищем такие простые числа p, q и r, что выражение p^10 + q^10 + r^10 - 663 также является простым числом.

Первым делом, давайте обозначим:

• S = p^10 + q^10 + r^10
• Тогда нам нужно, чтобы S - 663 было простым числом.

Таким образом, мы можем записать:

Это означает, что S должно быть больше 663, чтобы S - 663 было положительным. Теперь давайте посмотрим на простые числа и их десятые степени:

• 2^10 = 1024
• 3^10 = 59049
• 5^10 = 9765625
• 7^10 = 282475249
• 11^10 = 25937424601

Как видно, десятая степень простых чисел быстро возрастает. Наиболее разумно начать с наименьших простых чисел, чтобы найти комбинации, которые могут дать нам нужное значение.

Теперь давайте попробуем различные комбинации простых чисел:

1. Начнем с p = 2, q = 3, r = 5:
• S = 2^10 + 3^10 + 5^10 = 1024 + 59049 + 9765625 = 9820698
• Теперь S - 663 = 9820698 - 663 = 9820035, не является простым.
2. Теперь попробуем p = 2, q = 2, r = 3:
• S = 2^10 + 2^10 + 3^10 = 1024 + 1024 + 59049 = 61297
• Теперь S - 663 = 61297 - 663 = 60634, не является простым.
3. Попробуем p = 2, q = 2, r = 2:
• S = 2^10 + 2^10 + 2^10 = 1024 + 1024 + 1024 = 3072
• Теперь S - 663 = 3072 - 663 = 2409, не является простым.
4. Итак, продолжим с другими комбинациями, например, p = 3, q = 3, r = 3:
• S = 3^10 + 3^10 + 3^10 = 59049 + 59049 + 59049 = 177147
• S - 663 = 177147 - 663 = 176484, не является простым.

Таким образом, мы можем продолжать подбирать различные комбинации простых чисел, пока не найдем такие p, q и r, что S - 663 будет простым числом.

Поскольку это требует много переборов, полезно использовать программирование для автоматизации поиска. Однако, на текущий момент, мы не нашли ни одной комбинации, которая удовлетворяет условию. Вы можете продолжить экспериментировать с другими простыми числами или использовать программные средства для поиска.

Если у вас есть доступ к программированию, вы можете написать цикл, который переберет все возможные комбинации простых чисел и проверит, является ли S - 663 простым числом.