Сколько корней имеет уравнение: sin2x + cos2x = 2tgx + 1 на интервале [0; 2pi]?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций корни уравнения sin2x cos2x tgx интервал [0; 2pi] математический анализ уравнения Тригонометрия Новый

Для того чтобы определить количество корней уравнения sin(2x) + cos(2x) = 2tg(x) + 1 на интервале [0; 2pi], начнем с упрощения левой части уравнения.

Используем тригонометрические идентичности. Мы знаем, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1 - 2sin²(x) (или 2cos²(x) - 1)

Таким образом, можем переписать левую часть:

sin(2x) + cos(2x) = 2sin(x)cos(x) + (1 - 2sin²(x)) = 2sin(x)cos(x) + 1 - 2sin²(x).

Теперь у нас есть:

2sin(x)cos(x) + 1 - 2sin²(x) = 2tg(x) + 1.

Заменим tg(x) на sin(x)/cos(x):

2sin(x)cos(x) + 1 - 2sin²(x) = 2(sin(x)/cos(x)) + 1.

Теперь, чтобы решить уравнение, упростим его:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x)/cos(x) = 0.

Переносим все в одну сторону:

2sin(x)cos²(x) - 2sin(x) = 0.

Выносим 2sin(x) за скобки:

2sin(x)(cos²(x) - 1) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. 2sin(x) = 0: это дает sin(x) = 0. На интервале [0; 2pi] это происходит при:
• x = 0
• x = pi
• x = 2pi
2. cos²(x) - 1 = 0: это дает cos²(x) = 1, что означает cos(x) = ±1. На интервале [0; 2pi] это происходит при:
• x = 0
• x = pi
• x = 2pi

Теперь подытожим все найденные корни:

• x = 0
• x = pi
• x = 2pi

Все эти значения являются корнями уравнения, однако они совпадают. Таким образом, у нас есть 3 корня (но уникальных корня всего 3).

Итак, уравнение sin(2x) + cos(2x) = 2tg(x) + 1 имеет 3 корня на интервале [0; 2pi].