Точки С(1; 9) и D(5; 1) являются концами меньшей боковой стороны CD трапеции ABCD. Вектор МА= (6; -2) лежит на боковой стороне АВ, а точка М(-5; 1) является серединой боковой стороны АВ.

1. Каковы координаты точек А и В?
2. Как можно начертить трапецию ABCD в координатной плоскости и доказать, что она является прямоугольной с помощью вычислений?
3. Какова площадь трапеции ABCD?

Математика 11 класс Геометрия координаты точек А и В трапеция ABCD прямоугольная трапеция площадь трапеции вектор МА координатная плоскость вычисления трапеции Новый

Для решения задачи начнем с определения координат точек A и B, используя информацию о векторе MA и точке M.

Шаг 1: Определение координат точек A и B

Дано, что точка M является серединой боковой стороны AB. Координаты точки M(-5; 1) можно записать как:

M = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2)

Где (x_A, y_A) и (x_B, y_B) - координаты точек A и B соответственно.

С учетом координат точки M, мы можем записать два уравнения:

• (x_A + x_B)/2 = -5
• (y_A + y_B)/2 = 1

Теперь умножим каждое уравнение на 2:

• x_A + x_B = -10 (1)
• y_A + y_B = 2 (2)

Также дан вектор MA = (6; -2), который показывает, как перейти от точки M к точке A. Это значит:

• x_A = x_M + 6 = -5 + 6 = 1
• y_A = y_M - 2 = 1 - 2 = -1

Таким образом, координаты точки A равны (1; -1).

Теперь подставим координаты точки A в уравнение (1), чтобы найти координаты точки B:

• 1 + x_B = -10
• x_B = -10 - 1 = -11

Теперь подставим координаты A в уравнение (2):

• -1 + y_B = 2
• y_B = 2 + 1 = 3

Таким образом, координаты точки B равны (-11; 3).

Итак, координаты точек:

• A(1; -1)
• B(-11; 3)

Шаг 2: Построение трапеции ABCD

Теперь у нас есть точки C(1; 9) и D(5; 1), а также точки A(1; -1) и B(-11; 3). Мы можем начертить трапецию ABCD в координатной плоскости, соединив эти точки. Для этого:

• Нанесите на координатную плоскость точки C, D, A и B.
• Соедините точки C и D, а также A и B.
• Соедините точки A и D, а также B и C.

Шаг 3: Доказательство, что трапеция является прямоугольной

Для того чтобы трапеция ABCD была прямоугольной, необходимо, чтобы одна из боковых сторон была перпендикулярна основанию. Мы можем проверить это, вычислив угловые коэффициенты сторон:

Угловой коэффициент стороны CD:

• k_CD = (y_D - y_C) / (x_D - x_C) = (1 - 9) / (5 - 1) = -8 / 4 = -2

Угловой коэффициент стороны AB:

• k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (3 - (-1)) / (-11 - 1) = 4 / (-12) = -1/3

Теперь проверим, перпендикулярны ли стороны:

Если произведение угловых коэффициентов равно -1, то стороны перпендикулярны:

• k_CD * k_AB = -2 * (-1/3) = 2/3 (не равно -1)

Таким образом, стороны AB и CD не перпендикулярны, и трапеция не является прямоугольной по этому критерию.

Шаг 4: Вычисление площади трапеции ABCD

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

Площадь = (a + b) * h / 2

Где a и b - длины оснований, h - высота. Основаниями в нашем случае являются стороны AB и CD.

Длина CD:

• CD = sqrt((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) = sqrt((5 - 1)^2 + (1 - 9)^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4sqrt(5)

Длина AB:

• AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt((-11 - 1)^2 + (3 - (-1))^2) = sqrt(144 + 16) = sqrt(160) = 4sqrt(10)

Теперь найдем высоту h, которая равна расстоянию между параллельными основаниями. Это можно найти, используя координаты точек:

• h = |y_C - y_A| = |9 - (-1)| = 10

Теперь подставим значения в формулу для площади:

Площадь = (4sqrt(5) + 4sqrt(10)) * 10 / 2 = 20(sqrt(5) + sqrt(10)).

Итак, окончательные результаты:

• Координаты A: (1; -1)
• Координаты B: (-11; 3)
• Площадь трапеции ABCD: 20(sqrt(5) + sqrt(10))