Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Математика 11 класс Геометрия три прямые попарное пересечение плоскость общая точка доказательство в геометрии Новый

Для доказательства данного утверждения рассмотрим три прямые, обозначим их как A, B и C. Мы будем рассматривать два случая: когда прямые лежат в одной плоскости и когда они не лежат в одной плоскости.

1. Случай 1: Прямые лежат в одной плоскости.
   • Если все три прямые A, B и C лежат в одной плоскости, то они могут пересекаться в одной точке или в нескольких точках. В этом случае утверждение выполняется, так как все три прямые находятся в одной плоскости.
2. Случай 2: Прямые не лежат в одной плоскости.
   • Если три прямые A, B и C не лежат в одной плоскости, то они могут пересекаться попарно. Это означает, что:
     • Прямая A пересекает прямую B в точке P.
     • Прямая B пересекает прямую C в точке Q.
     • Прямая C пересекает прямую A в точке R.
   • В этом случае, так как каждая прямая пересекает другие, то все три прямые имеют общую точку, которая может быть одной из точек P, Q или R.

Таким образом, мы рассмотрели оба возможных случая. В первом случае прямые лежат в одной плоскости, а во втором случае они имеют общую точку. Это и доказывает, что три прямые попарно пересекаются либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.