Упростите выражение: sin³a × cos 3a + cos³a × sin 3a

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упрощение тригонометрических выражений Sin³a cos³a sin 3a cos 3a математика 11 класс Тригонометрия математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение sin³a × cos 3a + cos³a × sin 3a, мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества и формулы.

Сначала заметим, что данное выражение имеет вид, который можно привести к более простому. Мы можем воспользоваться формулой для суммы произведений:

• sin³a × cos 3a + cos³a × sin 3a = sin a × cos a × (sin²a × cos 3a + cos²a × sin 3a)

Теперь давайте упростим часть (sin²a × cos 3a + cos²a × sin 3a). Мы можем использовать формулу для синуса суммы:

• sin(x + y) = sin x × cos y + cos x × sin y

В нашем случае x = 3a, y = a. Таким образом, получаем:

• sin²a × cos 3a + cos²a × sin 3a = sin(a + 3a) = sin(4a)

Теперь мы можем подставить это обратно в наше выражение:

• sin³a × cos 3a + cos³a × sin 3a = sin a × cos a × sin(4a)

Теперь заметим, что sin a × cos a можно выразить через синус двойного угла:

• sin a × cos a = (1/2) × sin(2a)

Таким образом, мы можем записать окончательное упрощенное выражение:

• sin³a × cos 3a + cos³a × sin 3a = (1/2) × sin(2a) × sin(4a)

Итак, окончательный ответ:

(1/2) × sin(2a) × sin(4a)