Устройство состоит из трёх независимых элементов, работающих безотказно с вероятностями р1=0,959, р2=0,859 и р3=0,809. Какова вероятность того, что за время Т выйдет из строя:
а) только один элемент б) хотя бы один элемент

ЗАДАНИЕ ОТ КЛУБА ЗНАТОКОВ
(подробный ответ с пояснениями)

Математика 11 класс Вероятности и статистика вероятность выхода из строя элементы устройства независимые элементы математика задачи по вероятности вероятность отказа элементов решение задач по математике клуб знатоков Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать вероятностные правила для независимых событий. Давайте разберем оба пункта по очереди.

а) Вероятность того, что выйдет из строя только один элемент

Для начала определим вероятность того, что каждый элемент выйдет из строя. Вероятность выхода из строя элемента i можно вычислить как:

• q1 = 1 - p1 = 1 - 0,959 = 0,041
• q2 = 1 - p2 = 1 - 0,859 = 0,141
• q3 = 1 - p3 = 1 - 0,809 = 0,191

Теперь, чтобы найти вероятность того, что выйдет из строя только один элемент, мы можем рассмотреть три возможных случая:

1. Вышел из строя элемент 1, а элементы 2 и 3 работают:

Вероятность этого события равна: q1 * p2 * p3 = 0,041 * 0,859 * 0,809

2. Вышел из строя элемент 2, а элементы 1 и 3 работают:

Вероятность этого события равна: p1 * q2 * p3 = 0,959 * 0,141 * 0,809

3. Вышел из строя элемент 3, а элементы 1 и 2 работают:

Вероятность этого события равна: p1 * p2 * q3 = 0,959 * 0,859 * 0,191

Теперь суммируем все три вероятности:

P(только один элемент вышел из строя) = q1 * p2 * p3 + p1 * q2 * p3 + p1 * p2 * q3

Подставим значения:

• P(только один элемент вышел из строя) = 0,041 * 0,859 * 0,809 + 0,959 * 0,141 * 0,809 + 0,959 * 0,859 * 0,191

Теперь вычислим каждое из произведений:

• 0,041 * 0,859 * 0,809 ≈ 0,028
• 0,959 * 0,141 * 0,809 ≈ 0,089
• 0,959 * 0,859 * 0,191 ≈ 0,162

Теперь суммируем результаты:

P(только один элемент вышел из строя) ≈ 0,028 + 0,089 + 0,162 ≈ 0,279

Ответ на пункт а: Вероятность того, что выйдет из строя только один элемент, составляет примерно 0,279.

б) Вероятность того, что выйдет из строя хотя бы один элемент

Для нахождения вероятности того, что выйдет из строя хотя бы один элемент, мы можем использовать правило дополнения. Сначала найдем вероятность того, что все элементы работают:

P(все элементы работают) = p1 * p2 * p3 = 0,959 * 0,859 * 0,809

Теперь вычислим это произведение:

• P(все элементы работают) ≈ 0,959 * 0,859 * 0,809 ≈ 0,688

Теперь используем правило дополнения:

P(хотя бы один элемент вышел из строя) = 1 - P(все элементы работают)

P(хотя бы один элемент вышел из строя) ≈ 1 - 0,688 ≈ 0,312

Ответ на пункт б: Вероятность того, что выйдет из строя хотя бы один элемент, составляет примерно 0,312.

Таким образом, мы получили ответы на оба пункта задачи.