В каких интервалах функция y=x^4 - 4x^3 + 10 возрастает и убывает?

Математика 11 класс Анализ функций функция y=x^4 - 4x^3 + 10 интервалы возрастания интервалы убывания анализ функции математика 11 класс Новый

Чтобы определить, в каких интервалах функция y = x^4 - 4x^3 + 10 возрастает и убывает, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

   Производная функции y = x^4 - 4x^3 + 10 будет:

   y' = 4x^3 - 12x^2.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. У нас есть:

   4x^3 - 12x^2 = 0.

   Вынесем общий множитель:

   4x^2(x - 3) = 0.

   Это уравнение равно нулю, когда:

   • x^2 = 0 (то есть x = 0),
   • x - 3 = 0 (то есть x = 3).

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 3.

3. Определить знаки производной на интервалах.

   Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные критические точки:

   • (-∞, 0),
   • (0, 3),
   • (3, +∞).

   Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов.

4. Проверка знака производной:
   • Для интервала (-∞, 0): возьмем, например, x = -1:

   y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16 (меньше 0, значит функция убывает).

   • Для интервала (0, 3): возьмем, например, x = 1:

   y'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 (меньше 0, значит функция убывает).

   • Для интервала (3, +∞): возьмем, например, x = 4:

   y'(4) = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64 (больше 0, значит функция возрастает).

5. Вывод:

   На основе проведенных проверок мы можем сделать вывод:

   • Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 3),
   • Функция возрастает на интервале (3, +∞).

Таким образом, функция y = x^4 - 4x^3 + 10 убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 3) и возрастает на интервале (3, +∞).