Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно воспользоваться геометрическими свойствами этой фигуры. Давайте разберем решение по шагам.

1. Определим, что такое высота пирамиды.
   Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В нашем случае, основание является квадратом, так как это правильная четырехугольная пирамида.
2. Используем треугольник, образованный боковым ребром и высотой.
   Рассмотрим треугольник, в котором одна сторона - это высота пирамиды (h), другая сторона - это боковое ребро (b), а угол между ними - это угол наклона (a). Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты.
3. Запишем соотношение для высоты.
   В данном случае, мы можем использовать синус угла наклона:
   • sin(a) = h / b
   Отсюда мы можем выразить высоту:
   • h = b * sin(a)
4. Подставим известные значения.
   У нас есть b = 5√2 см и a = 45°. Зная, что sin(45°) = √2/2, подставим эти значения в формулу:
   • h = 5√2 * (√2/2)
5. Упростим выражение.
   Умножим:
   • h = 5 * (2/2) = 5 см

Ответ: Высота пирамиды равна 5 см.