В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 2. Какова площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середины боковых рёбер?

Математика 11 класс Геометрия правильная четырехугольная пирамида площадь сечения середины боковых рёбер рёбра равны 2 задачи по математике Новый

Для решения задачи о нахождении площади сечения правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определение структуры пирамиды:

• Правильная четырёхугольная пирамида состоит из квадратного основания и одной вершины, расположенной над центром основания.
• Все рёбра пирамиды равны 2, что означает, что длина ребер основания и боковых рёбер равна 2.

2. Вычисление координат вершин:

• Обозначим вершину основания как A, B, C и D, а вершину пирамиды как O.
• Вершины основания можно расположить в координатной системе следующим образом: A(1, 1, 0), B(-1, 1, 0), C(-1, -1, 0), D(1, -1, 0).
• Вершина O будет находиться над центром основания, то есть в точке O(0, 0, h), где h – высота пирамиды.

3. Вычисление высоты пирамиды:

• Для нахождения высоты h используем теорему Пифагора. В боковом ребре OА, длина которого равна 2, и в основании AO, длина которого равна 1. Следовательно:
• h^2 + 1^2 = 2^2, откуда h^2 = 3, и h = √3.

4. Определение середины боковых рёбер:

• Середины боковых рёбер будут находиться в следующих точках:
• Середина OA: M1(0.5, 0.5, √3/2)
• Середина OB: M2(-0.5, 0.5, √3/2)
• Середина OC: M3(-0.5, -0.5, √3/2)
• Середина OD: M4(0.5, -0.5, √3/2)

5. Построение сечения:

• Плоскость, проходящая через точки M1, M2, M3 и M4, образует квадрат.
• Длина стороны квадрата равна расстоянию между двумя соседними точками, например, M1 и M2.
• Расстояние между M1 и M2 можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками:
• Длина = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] = √[(-0.5 - 0.5)^2 + (0.5 - 0.5)^2 + (√3/2 - √3/2)^2] = √[(-1)^2] = 1.

6. Вычисление площади сечения:

• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:
• Площадь = сторона^2 = 1^2 = 1.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер, равна 1.