В правильной треугольной пирамиде SABC, где длина каждого из шести ребер равна 1, имеется сфера, которая проходит через середину отрезка BC и касается ребер AS, AC и AB, при этом ее центр располагается внутри пирамиды. Каков радиус этой сферы?

Математика 11 класс Геометрия правильная треугольная пирамида радиус сферы геометрия математика 11 класс задачи на сферу треугольник ABC касание сферы ребра пирамиды Новый

Чтобы найти радиус сферы, которая касается ребер пирамиды SABC, начнем с анализа геометрии данной правильной треугольной пирамиды.

Шаг 1: Параметры пирамиды

• В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны 1.
• Треугольник ABC является равносторонним с длиной стороны 1.

Шаг 2: Найдем координаты вершин пирамиды

• Расположим вершины треугольника ABC в плоскости XY:
• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• Вершина S будет на высоте от центра основания. Найдем координаты S:
• Центр основания O = (0.5, sqrt(3)/6, 0)
• Высота от центра основания до вершины S равна h, где h = sqrt(1^2 - (1/2)^2 - (sqrt(3)/6)^2) = sqrt(1 - 0.25 - 0.25) = sqrt(0.5) = sqrt(2)/2.
• Таким образом, координаты вершины S: S(0.5, sqrt(3)/6, sqrt(2)/2).

Шаг 3: Найдем координаты центра сферы

• Центр сферы O лежит на отрезке, соединяющем точку M, середину отрезка BC, и точку S.
• Координаты точки M = ((1 + 0.5)/2, (0 + sqrt(3)/2)/2, 0) = (0.75, sqrt(3)/4, 0).
• Пусть центр сферы имеет координаты (x, y, z). Он будет находиться на прямой SM.

Шаг 4: Уравнение для радиуса

• Радиус сферы r равен расстоянию от центра сферы до ребер пирамиды (AS, AC, AB).
• Используя формулу расстояния от точки до плоскости, мы можем найти радиус.

Шаг 5: Расчет радиуса

• Радиус r можно выразить как:
• r = z, так как сфера касается плоскости ABC в точке M.
• Мы можем воспользоваться свойством равновесия: r = h/3, где h - высота пирамиды.
• Таким образом, r = (sqrt(2)/2)/3 = sqrt(2)/6.

Ответ: Радиус сферы равен sqrt(2)/6.