Чтобы найти радиус сферы, которая касается ребер пирамиды SABC, начнем с анализа геометрии данной правильной треугольной пирамиды.

Шаг 1: Параметры пирамиды

• В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны 1.
• Треугольник ABC является равносторонним с длиной стороны 1.

Шаг 2: Найдем координаты вершин пирамиды

• Расположим вершины треугольника ABC в плоскости XY:
• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• Вершина S будет на высоте от центра основания. Найдем координаты S:
• Центр основания O = (0.5, sqrt(3)/6, 0)
• Высота от центра основания до вершины S равна h, где h = sqrt(1^2 - (1/2)^2 - (sqrt(3)/6)^2) = sqrt(1 - 0.25 - 0.25) = sqrt(0.5) = sqrt(2)/2.
• Таким образом, координаты вершины S: S(0.5, sqrt(3)/6, sqrt(2)/2).

Шаг 3: Найдем координаты центра сферы

• Центр сферы O лежит на отрезке, соединяющем точку M, середину отрезка BC, и точку S.
• Координаты точки M = ((1 + 0.5)/2, (0 + sqrt(3)/2)/2, 0) = (0.75, sqrt(3)/4, 0).
• Пусть центр сферы имеет координаты (x, y, z). Он будет находиться на прямой SM.

Шаг 4: Уравнение для радиуса

• Радиус сферы r равен расстоянию от центра сферы до ребер пирамиды (AS, AC, AB).
• Используя формулу расстояния от точки до плоскости, мы можем найти радиус.

Шаг 5: Расчет радиуса

• Радиус r можно выразить как:
• r = z, так как сфера касается плоскости ABC в точке M.
• Мы можем воспользоваться свойством равновесия: r = h/3, где h - высота пирамиды.
• Таким образом, r = (sqrt(2)/2)/3 = sqrt(2)/6.

Ответ: Радиус сферы равен sqrt(2)/6.