В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, где все ребра равны 1, каково расстояние между прямыми BB1 и AC1?

Математика 11 класс Геометрия расстояние между прямыми правильная треугольная призма задачи по математике геометрия треугольников математические задачи 11 класс Новый

Для решения задачи о расстоянии между прямыми BB1 и AC1 в правильной треугольной призме, давайте сначала определим расположение вершин призмы в пространстве.

Пусть вершины призмы расположены следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь определим векторы, которые описывают прямые BB1 и AC1.

1. Прямая BB1:

• Вектор направления: BB1 = B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)

2. Прямая AC1:

• Вектор направления: AC1 = C1 - A = (0.5, sqrt(3)/2, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь мы можем найти точку на прямой BB1 и точку на прямой AC1. Для этого выберем произвольные параметры:

• Точка на BB1: P1 = B + t(0, 0, 1) = (1, 0, t)
• Точка на AC1: P2 = A + s(0.5, sqrt(3)/2, 1) = (0.5s, (sqrt(3)/2)s, s)

Теперь мы можем выразить расстояние между этими двумя прямыми. Для этого используем формулу для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

Расстояние d между прямыми, заданными векторами направления u и v и проходящими через точки P1 и P2, можно найти по формуле:

d = |(P2 - P1) * (u x v)| / |u x v|,

где * - скалярное произведение, x - векторное произведение.

Теперь найдем вектор P2 - P1:

• P2 - P1 = (0.5s - 1, (sqrt(3)/2)s - 0, s - t)

Векторы направления:

• u = (0, 0, 1)
• v = (0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь найдем векторное произведение u x v:

• u x v = |i j k|
• |0 0 1|
• |0.5 sqrt(3)/2 1|

Вычисляя детерминант, получаем:

• u x v = (0, -0.5, 0)

Теперь найдем модуль этого вектора:

• |u x v| = sqrt(0^2 + (-0.5)^2 + 0^2) = 0.5

Теперь вычислим скалярное произведение (P2 - P1) * (u x v):

• (P2 - P1) * (0, -0.5, 0) = 0.5s * 0 + ((sqrt(3)/2)s) * (-0.5) + (s - t) * 0
• = -0.25sqrt(3)s

Теперь подставим все в формулу для расстояния:

d = |(-0.25sqrt(3)s)| / 0.5 = 0.5sqrt(3)s

Так как s может принимать любые значения, расстояние между прямыми BB1 и AC1 будет постоянным и равно 0.5sqrt(3).

Ответ: Расстояние между прямыми BB1 и AC1 равно 0.5sqrt(3).