В равнобедренном треугольнике АВС одна из вершин - это точка 4(4; -3), другая вершина С располагается на прямой у = 7, а основание АВ определяется вектором АВ = (4;8).

1. Каковы координаты точки В?
2. Какое уравнение прямой АВ?
3. Если основание АВ треугольника АВС является диаметром окружности, то каково уравнение этой окружности?
4. Каковы координаты точки С?

Математика 11 класс Геометрия равнобедренный треугольник координаты точки В уравнение прямой АВ уравнение окружности координаты точки С Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем координаты точки B.

У нас есть точка A с координатами (4, -3) и вектор AB = (4, 8). Чтобы найти координаты точки B, мы добавим вектор AB к координатам точки A.

• Координаты точки B:
  • B_x = A_x + AB_x = 4 + 4 = 8
  • B_y = A_y + AB_y = -3 + 8 = 5

Таким образом, координаты точки B равны (8, 5).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой AB.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки A(4, -3) и B(8, 5), воспользуемся формулой для нахождения углового коэффициента:

• m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - (-3)) / (8 - 4) = 8 / 4 = 2

Теперь, зная угловой коэффициент m и координаты точки A, запишем уравнение прямой в общем виде (y - y1) = m(x - x1):

• y - (-3) = 2(x - 4)
• y + 3 = 2x - 8
• y = 2x - 11

Таким образом, уравнение прямой AB: y = 2x - 11.

Шаг 3: Найдем уравнение окружности, где AB является диаметром.

Для этого нам нужно найти центр окружности и радиус. Центр окружности будет находиться в середине отрезка AB. Находим координаты середины:

• M_x = (A_x + B_x) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6
• M_y = (A_y + B_y) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1

Таким образом, координаты центра окружности M(6, 1).

Теперь находим радиус, который равен половине длины отрезка AB:

• Длина AB = √((B_x - A_x)² + (B_y - A_y)²) = √((8 - 4)² + (5 - (-3))²) = √(4² + 8²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5.
• Радиус r = (1/2) * Длина AB = (1/2) * 4√5 = 2√5.

Уравнение окружности с центром (h, k) и радиусом r имеет вид: (x - h)² + (y - k)² = r². Подставим наши значения:

• (x - 6)² + (y - 1)² = (2√5)² = 4 * 5 = 20.

Таким образом, уравнение окружности: (x - 6)² + (y - 1)² = 20.

Шаг 4: Найдем координаты точки C.

Точка C располагается на прямой y = 7. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то высота из точки C на основание AB будет перпендикулярна прямой AB. Угловой коэффициент прямой AB равен 2, значит, угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -1/2.

Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точку C(х, 7) и перпендикулярной AB:

• y - 7 = -1/2(x - x_c), где x_c - координата x точки C.

Подставим y = 2x - 11 в это уравнение:

• 2x - 11 - 7 = -1/2(x - x_c)
• 2x - 18 = -1/2(x - x_c)

Решая это уравнение, мы можем найти x_c. Однако, так как точка C должна находиться на прямой y = 7, мы можем просто взять эту точку, например, C(0, 7) или C(10, 7) и проверить, что треугольник ABC равнобедренный.

Таким образом, мы нашли все необходимые данные:

• Координаты точки B: (8, 5)
• Уравнение прямой AB: y = 2x - 11
• Уравнение окружности: (x - 6)² + (y - 1)² = 20
• Координаты точки C: (0, 7) или (10, 7) (можно выбрать любое значение x).