В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, где ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. Стороны основания равны 3, а ребро МА равно 6. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ — точка Е, а на ребре АМ — точка L. Известно, что AD=2, и BE=ML=1. Какова площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L?

Математика 11 класс Геометрия треугольная пирамида площадь сечения правильный треугольник перпендикулярное ребро точки на ребрах задача по математике геометрия 11 класс вычисление площади свойства треугольников Новый

Для нахождения площади сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, давайте сначала разберем расположение всех точек и их координаты.

1. Определим координаты вершин пирамиды.

   • Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
   • Так как треугольник ABC является правильным, координаты точек B и C можно определить следующим образом:
     • B(3, 0, 0) (находится на оси X)
     • C(1.5, (3 √3)/2, 0) (вершина треугольника, высота равна (3 √3)/2)
   • Точка M, находящаяся над основанием и перпендикулярная к плоскости ABC, будет иметь координаты: M(1.5, (√3)/2, 6).

2. Определим координаты точек D, E и L.

   • Точка D находится на ребре AC. Поскольку AD = 2, а длина AC равна 3, то D делит отрезок AC в отношении 2:1. Таким образом, координаты D можно найти следующим образом:
     • D = A + (2/3) (C - A) = (0, 0, 0) + (2/3) (1.5, (3√3)/2, 0) = (1, (√3), 0).
   • Точка E находится на ребре AB. Поскольку BE = 1, то E делит отрезок AB в отношении 1:2. Таким образом, координаты E:
     • E = A + (1/3) (B - A) = (0, 0, 0) + (1/3) (3, 0, 0) = (1, 0, 0).
   • Точка L находится на ребре AM. Поскольку ML = 1, то L делит отрезок AM в отношении 1:5. Таким образом, координаты L:
     • L = A + (1/6) (M - A) = (0, 0, 0) + (1/6) (1.5, (√3)/2, 6) = (0.25, (√3)/12, 1).

3. Теперь найдем площадь треугольника DEL. Для нахождения площади треугольника, заданного тремя точками, можно воспользоваться формулой: Площадь = 0.5 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|.

   Подставим координаты точек D(1, √3, 0), E(1, 0, 0) и L(0.25, √3/12, 1):

   • x1 = 1, y1 = √3
   • x2 = 1, y2 = 0
   • x3 = 0.25, y3 = √3/12

   Теперь подставим эти значения в формулу: Площадь = 0.5 * |(1(0 - √3/12) + 1(√3/12 - √3) + 0.25(√3 - 0))|.

   Упростим выражение: Площадь = 0.5 * |( -√3/12 + (√3/12 - √3) + 0.25√3)|.

   Объединим дроби: -√3/12 + √3/12 - √3 + 0.25√3 = -√3 + 0.25√3 = -0.75√3.

   Теперь подставим это значение: Площадь = 0.5 * |(-0.75√3)| = 0.375√3.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, равна 0.375√3.