В возрастающей арифметической прогрессии, если произведение первого и четвертого членов равно 22, а произведение второго и третьего членов равно 40, каким образом можно определить двенадцатый член прогрессии?

Математика 11 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия двенадцатый член произведение членов математика 11 класс решение задачи Новый

Для решения задачи о нахождении двенадцатого члена возрастающей арифметической прогрессии, давайте обозначим первый член прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a + d
• Третий член: a + 2d
• Четвертый член: a + 3d

Теперь, согласно условию задачи, у нас есть два уравнения:

1. Произведение первого и четвертого членов: a * (a + 3d) = 22
2. Произведение второго и третьего членов: (a + d) * (a + 2d) = 40

Решим первое уравнение:

a * (a + 3d) = 22

Это уравнение можно разложить:

a^2 + 3ad = 22

Теперь решим второе уравнение:

(a + d) * (a + 2d) = 40

Раскроем скобки:

a^2 + 3ad + 2d^2 = 40

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1) a^2 + 3ad = 22
• 2) a^2 + 3ad + 2d^2 = 40

Теперь мы можем выразить 2d^2 из второго уравнения:

2d^2 = 40 - (a^2 + 3ad)

Подставим первое уравнение во второе:

2d^2 = 40 - 22 = 18

Теперь найдем d^2:

d^2 = 9

Следовательно, d = 3 или d = -3. Но так как прогрессия возрастающая, мы берем d = 3.

Теперь подставим значение d в первое уравнение:

a^2 + 3a * 3 = 22

a^2 + 9a - 22 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * (-22) = 81 + 88 = 169

Теперь находим корни уравнения:

a = (-b ± √D) / 2a = (-9 ± 13) / 2

Это дает два решения:

• a = 2
• a = -11 (не подходит, так как прогрессия должна быть возрастающей)

Итак, a = 2 и d = 3. Теперь найдем двенадцатый член прогрессии:

a₁₂ = a + 11d = 2 + 11 * 3 = 2 + 33 = 35

Таким образом, двенадцатый член арифметической прогрессии равен 35.